Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\)  là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Suy ra \(I\) là trung điểm của \(AC\). Ta có \(I\left( {2, - 1,1} \right)\).

Phương trình \(BI\) cũng chính là phương trình đường chéo \(BD\).

+ Phương trình \(BI\) nhận \(\overrightarrow {BI}  = (4, - 4,0)\) là vectơ chỉ phương

+ qua điểm \(B\left( { - 2,3,1} \right)\) và cũng qua điểm \(I\left( {2, - 1,1} \right)\).

Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là \((1,1,0)\), đây không là vecto chỉ phương của \(BI\).

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(d\)  có vecto chỉ phương là \(\vec u = (3,1,1)\)  và đi qua điểm \(A\left( {2,1,3} \right)\) nên có phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3t}&{}\\{y = 1 + t}&{}\\{z = 3 + t}&{}\end{array}} \right.\)

+ Phương án A đúng.

+ Với \(t =  - 1\) ta có \(B\left( { - 1,0,2} \right)\) thuộc \(d\) . Do đó B đúng.

+ Với \(t = 1\), ta có \(C\left( {5,2,4} \right)\) thuộc \(d\) . Do đó C đúng.

Chọn D

Lời giải chi tiết:

Vì \(d\) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên ta có \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (1, - 2,1)\).

Vì \(d\) qua \(M\left( {1,1,2} \right)\) nên \(d\) có phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{1}\)

Chọn D

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}  = (2,1, - 1)\)  và  \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = (3,2,2)\)

Vì \(d\) vuông góc với \({d_1}\)  và \({d_2}\)  nên có \(\overrightarrow {{u_d}}  = [\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ] = (4, - 7,1)\)

Vì \(d\) qua \(A\left( {1,2,3} \right)\) nên có phương trình \(d:\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 7}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\)

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{u_d}}  = (3, - 2,1)\)  và \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1, - 1, - 1)\)

Vì \(d'\)  vuông góc với \(d\) và song song với \(\left( P \right)\) nên có \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = [\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} ] = (3,4, - 1)\)

Vì  \(d'\)qua \(M\left( { - 1,0,3} \right)\) nên có phương trình \(d':\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}\)

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (3,1,0)\)  và \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (2,1,1)\).

Gọi \(\left( d \right)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) ta có \(\overrightarrow {{u_d}}  = [\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} ] = (1, - 3,1)\)

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm  \(M\left( {1,2,3} \right)\) và song song với \(\left( d \right)\) là: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}&{}\\{y = 2 - 3t}&{}\\{z = 3 + t}&{}\end{array}} \right.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Phương pháp: 

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} \) 

Lời giải chi tiết:

\(M\) nằm trên trục \(Oz\), giả sử \(M(0;0;m)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 4)}^2} + {{(m - 2)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 17} \\MB = \sqrt {{{(0 + 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(m - 4)}^2}} = \sqrt {{{(m - 4)}^2} + 5} \end{array}\)

Theo giả thiết \(M{A^2} + M{B^2} = 32\) suy ra ta có

\(\begin{array}{l}{(m - 2)^2} + 17 + {(m - 4)^2} + 5 = 32\\ \Leftrightarrow {(m - 2)^2} + {(m - 4)^2} = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 12m + 20 = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 12m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(M(0;0;1)\) hoặc \(M(0;0;5)\)

Chọn A

Phương pháp giải:

- Tìm vecto chỉ phương của hai đường thẳng.

- Tìm mối quan hệ giữa hai vecto.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1;1} \right)\)

Đường thẳng \({d_2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1 \ne 0 \Rightarrow {d_1};{d_2}\) là hai đường thẳng cắt nhau.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng là vecto chỉ phương của đường thẳng.

- Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) nên vecto pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là  \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\); mặt phẳng đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) nên có dạng là \(x + y - z = 0.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Gọi \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thẳng d, xác định \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của (P) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của \(\Delta \).

- Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\parallel \left( P \right)\\d \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {{u_d}} \) đều là 1 VTCP của đường thẳng d.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - z - 2 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 2}}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;2; - 2} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thẳng d . Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d\parallel \left( P \right)\\d \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {0;1;1} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Cho tọa độ hai đường thẳng bằng nhau, giải hệ phương trình tìm t và t’.

- Thay t và t’ tìm được vào các phương trình đường thẳng tương ứng tìm tọa độ giao điểm.

Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 + 2t = 5 + t'\\ - 2 + 3t =  - 1 - 4t'\\6 + 4t = 20 + t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' =  - 2\end{array} \right.\)

Khi đó tọa độ giao điểm là \(I\left( {3;7;18} \right).\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Viết tọa độ tổng quát của M (dựa vào đường thẳng d).

- Thay tọa độ điểm M vào mặt phẳng \(\left( P \right)\) rồi tìm tọa độ điểm M và suy ra a, b, c.

Lời giải chi tiết:

Vì \(M = \left( d \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in \left( d \right)\\M \in \left( P \right)\end{array} \right.\).

Ta có \(M \in \left( d \right):\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\)\( \Leftrightarrow M\left( {2t + 1;\,\,t - 1;\,\,2t} \right).\)

          \(M \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow 2t + 1 - t + 1 + 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow 5t + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1.\)

Khi đó ta có \(M\left( { - 1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow a =  - 1,\,\,b =  - 2,\,\,c =  - 2\).

Vậy \(P = a + b + c =  - 1 - 2 - 2 =  - 5.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi 2 VTCP cùng phương với nhau và hai đường thẳng không có điểm chung nào.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;2} \right)\).

Dễ thấy đáp án D đường thẳng \(\Delta \) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_4}}  = \left( {2;1; - 2} \right)\) không cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;2} \right)\) nên ta loại đáp án D.

Chọn \(A\left( {1; - 1;3} \right) \in d\), thay tọa độ điểm A vào đáp án A ta có: \(\dfrac{{1 - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{ - 1}}{1} = \dfrac{{3 - 1}}{{ - 2}}\) (vô lí) \( \Rightarrow A \notin \Delta \).

Vậy đường thẳng ở đáp án A song song với đường thẳng d.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính khoảng cách từ tâm I đến AB

Lời giải chi tiết:

Gọi H là hình chiếu của I lên d

\(\begin{array}{l}d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}} = t\\ \Rightarrow H\left( {2t + 1;2t - 1; - t} \right)\\HI = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {2t - 1} \right)}^2} + {{\left( { - t + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {9{t^2} - 6t + 2} \\H{I_{\min }} = 1 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow R = \sqrt {H{I^2} + {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tham số hóa tọa độ điểm \(A \in d\) theo tham số t.

- Vì \(A \in \left( P \right)\) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) tìm t. Từ đó suy ra tọa độ điểm A.

- Xác định a, b, c và tính tổng a + b + c.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: \(A = d \cap \left( P \right)\).

+ \(A \in d\) nên gọi \(A\left( { - 1 + 2t;\,\,1 - t;\,\, - 3 + 3t} \right)\).

+ \(A \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow  - 1 + 2t - 2\left( {1 - t} \right) + \left( { - 3 + 3t} \right) - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 7t - 7 = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)

\( \Rightarrow A\left( {1;0;0} \right)\).

\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = 0,\,\,c = 0\).

Vậy \(a + b + c = 1 + 0 + 0 = 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm trọng tâm G của tam giác ABC \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\)

- Đường thẳng đi qua O và G nhận \(\overrightarrow {OG} \) là 1 VTCP.

- Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\): \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(A\left( {4; - 3;2} \right);\) \(B\left( {6;1; - 7} \right);\) \(C\left( {2;8; - 1} \right)\)

Khi đó trọng tâm G có tọa độ \(\left( {4;2; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OG}  = \left( {4;2; - 2} \right) = 2\left( {2;1; - 1} \right)\), do đó đường thẳng đi qua O và G có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {2;1; - 1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng OG có 1 VTCP  \(\overrightarrow u \left( {2;1; - 1} \right)\) và đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) có dạng \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) rồi suy ra phương trình mặt phẳng.

- Mặt phẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(A\left( {4; - 3;5} \right),B\left( {2; - 5;1} \right)\) nên trung điểm của AB là \(I\left( {3; - 4;3} \right)\).

Đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 9}}{{13}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3; - 2;13} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với d  nên mặt phẳng (P) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3; - 2;13} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 2;13} \right)\) và đi qua \(I\left( {3; - 4;3} \right)\) có phương trình là:

\(3\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 4} \right) + 13\left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + 13z - 56 = 0\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- \(\Delta  \bot \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_\alpha }} \) với \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

- Phương trình chính tắc đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là:

\(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Vì \(\Delta  \bot \left( \alpha  \right)\) nên đường thẳng \(\Delta \) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;1;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua M(-1;-2;-3) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;1;1} \right)\) là:

\(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z + 3}}{1}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Xác định hai điểm thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 1 = 0\\x - y - z + 2 = 0\end{array} \right.\).

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là : \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 1 = 0\\x - y - z + 2 = 0\end{array} \right.\).

Cho \(z = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( { - 1;1;0} \right) \in \Delta \).

Cho \(z = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 1\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{3}\\y =  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( { - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3};2} \right) \in \Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{4}{3};2} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow u  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là 1 VTCP của \(\Delta \).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là : \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \): \(d\left( {M;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {M{M_o}} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) với \({M_0}\) là điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta \), \(\overrightarrow u \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 2;0} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;3;1} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 2; - 1;9} \right)\) \( \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {9^2}}  = \sqrt {86} \).

Vậy \(OH = d\left( {O;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {86} }}{{\sqrt {{3^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{86}}{{19}}} \).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \).

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(2x - 3y + 6z + 19 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 3;6} \right)\).

\( \Rightarrow \) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(2x - 3y + 6z + 19 = 0\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \overrightarrow n  = \left( {2; - 3;6} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( { - 2;4;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(2x - 3y + 6z + 19 = 0\) là: \(\dfrac{{x + 2}}{2} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{6}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- \(\left( P \right) \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_\Delta }} \) với \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của \(\Delta \).

- Phương trình mặt phẳng đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right) \ne \overrightarrow 0 \) là:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \(\Delta \), nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;2; - 1} \right)\) là VTPT có phương trình là

\(1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 2y - z + 1 = 0\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 3t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(M\left( {1;\,\,3;\,\,0} \right).\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\)\(\left( {a.b.c \ne 0} \right)\) thì có phương trình chính tắc là \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2y - 2z - 3 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 2} \right)\)

Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \overrightarrow n  = \left( {1;2; - 2} \right)\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{2} = \dfrac{{z + 7}}{{ - 2}}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d \bot \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_\alpha }} .\)

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right)\) là: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( \alpha  \right):\,\,4x - y + 2z - 2 = 0\) có \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4; - 1;\,\,2} \right)\)

Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,4x - y + 2z - 2 = 0\)\( \Rightarrow d\)  nhận vecto \(-\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {-4;  1;\,\,-2} \right)\) làm VTCP.

\( \Rightarrow d\) có phương trình là: \(\dfrac{{x + 1}}{-4} = \dfrac{{y - 2}}{{ -1}} = \dfrac{{z - 3}}{-2}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Viết phương trình tham số của đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tham số hóa tọa độ \(A'\) thuộc đường thẳng \(AA'\) theo biến \(t\).

- Thay tọa độ điểm \(A'\) vào phương trình mặt phẳng tìm \(t\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z - 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_{AA'}}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\).

Gọi \(A'\left( {1 + t;\,\,2 - 2t;\,\, - 1 + t} \right) \in AA'\). Vì \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên \(mp\left( P \right)\) nên \(A' \in \left( P \right)\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + t - 2\left( {2 - 2t} \right) - 1 + t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 1 + t - 4 + 4t - 1 + t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\end{array}\)

Vậy \(A'\left( {2;0;0} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Viết phương trình mặt phẳng\(\left( P \right)\) đi qua A và vuông góc với d.

- Tìm tọa độ điểm \(M = d \cap \left( P \right)\).

- Đường thẳng \({d_1}\) chính là đường thẳng đi qua \(A,\,\,M\).

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi mặt phẳng \(\left( P \right)\)là mặt phẳng đi qua \(A\left( {0;1;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\)

Khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(2\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - y + z - 1 = 0\).

Gọi \(M = d \cap \left( P \right)\).

\(\begin{array}{l}M \in d \Rightarrow M\left( {4 + 2t;\,\,1 - t;\,\,t} \right)\\M \in \left( P \right):\,\,2x - y + z - 1 = 0\\ \Rightarrow 2\left( {4 + 2t} \right) - \left( {1 - t} \right) + t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\\ \Rightarrow M\left( {2;2; - 1} \right)\end{array}\)

Khi đó đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;2} \right),\,\,M\left( {2;2; - 1} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2;1; - 3} \right)\) là 1 VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng \({d_1}\) là: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thay trực tiếp tọa độ các điểm \(A,\,\,B\) vào phương trình đường thẳng \(d\).

Lời giải chi tiết:

- Thay tọa độ điểm \(A\left( {3 + m;\,\,4 + m;\,\,5 - 2m} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có:

\(\dfrac{{3 + m - 3}}{1} = \dfrac{{4 + m - 4}}{1} = \dfrac{{5 - 2m - 5}}{{ - 2}} \Leftrightarrow m = m = m\) (luôn đúng) \( \Rightarrow A \in d\).

- Thay tọa độ điểm \(B\left( {4 - n;\,\,5 - n;\,\,3 + 2n} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có:

\(\dfrac{{4 - n - 3}}{1} = \dfrac{{5 - n - 4}}{1} = \dfrac{{3 + 2n - 5}}{{ - 2}} \Leftrightarrow 1 - n = 1 - n = 1 - n\) (luôn đúng) \( \Rightarrow B \in d\).

Vậy \(A \in d,\,\,B \in d\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- \(d \bot \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_\alpha }} \) với \(\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow {{n_\alpha }} \) lần lượt là VTCP của đường thẳng \(d\) và VTPT của \(\left( \alpha  \right)\).

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) 

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,5x - 10y - 15x - 16 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {5; - 10; - 15} \right)\).

\( \Rightarrow \) Đường thẳng vuông góc với \(\alpha \) có 1 VTCP \(\overrightarrow u  =  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( { - 1;2;3} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- \(d \bot \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_\alpha }} \).

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,4x + 3y - 7z + 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4;3; - 7} \right)\).

Vì \(d \bot \left( \alpha  \right)\) nên đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4;3; - 7} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {4;3; - 7} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - 7t\end{array} \right.\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) có VTCP là \(\overrightarrow {AB} .\)

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right)\) là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;\, - 3;\, - 3} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(B\) và có VTCP \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 3; - 3} \right)\) là: \(\frac{{x - 3}}{4} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- \(\left( P \right) \bot \left( d \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_d}} \).

- Phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là:

\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;3} \right)\).

Vì \(\left( P \right) \bot \left( d \right) \Rightarrow \) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;3} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(1.\left( {x - 3} \right) + 2.\left( {y + 4} \right) + 3.\left( {z - 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 10 = 0\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Xác định VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} \) của đường thẳng \(d\) và VTCP \(\overrightarrow {{u_{Ox}}} \) của trục \(Ox\).

- Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \bot Ox\\\Delta  \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow i  = 0\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow i ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\).

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1; - 3} \right)\), trục \(Ox\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \bot Ox\\\Delta  \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow i  = 0\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow i ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {0; - 3;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {0; - 3;1} \right)\) là: \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 3t\\z = t\end{array} \right.\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\).

- Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow u \) đều là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{2y + 1}}{3} = \dfrac{{z - 5}}{2}\) \( \Rightarrow d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + \dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{{z - 5}}{2}\).

Do đó đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;\dfrac{3}{2};2} \right)\).

Dựa vào các đáp án ta thấy \(\overrightarrow {{u_3}}  = \left( { - 2;3;4} \right) = 2\overrightarrow {{u_d}} \) cũng là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTCP.

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(AB\).

Vậy phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(B\left( {2; - 1;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + k\\y =  - 1 - 2k\\z =  - 2k\end{array} \right.\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\,\,B\) nhận \(\)  là 1 VTCP. Mọi vectơ cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \) đều là 1 VTCP của đường thẳng.

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 2; - 2} \right)\), do đó đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 1} \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) là 1 VTCP.

Phương trình đường thẳng đi qua \(B\left( {1; - 1;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) là \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) có một vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1; - 2;2} \right)\).

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow T = {a^2} - 2b = {\left( { - 2} \right)^2} - 2.2 = 0\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {a;b;c} \right)\).

- Hai đường thẳng song song thì VTCP của đường thẳng này cũng là VTCP của đường thẳng kia.

- Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 2} \right)\), đây cũng là VTCP của đường thẳng đi qua A và song song với d.

Đường thẳng qua A và song song với d nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 2} \right)\) là VTCP, có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z =  - 2 - 2t\end{array} \right.\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm trọng tâm tam giác \(ABC\) : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\)

- Viết phương trình đường thẳng qua G và vuông góc \(\left( \alpha  \right)\).

- Tìm giao điểm của đường thẳng trên với \(\left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì \(G\left( {1; - 2;2} \right)\).

Gọi \(\Delta \)  là đường thẳng đi qua \(G\) và vuông góc với \(\left( \alpha  \right):x + y + z - 4 = 0\).

Khi đó \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {1;1;1} \right)\) nên \(\Delta \) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\)

Vì \(H\) là hình chiếu của \(G\) lên \(\left( \alpha  \right)\) nên \(H = \Delta  \cap \left( \alpha  \right)\).

Khi đó, tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + t\\z = 2 + t\\x + y + z - 4 = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + t} \right) + \left( { - 2 + t} \right) + \left( {2 + t} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow  - 3 + 3t = 0 \Leftrightarrow t = 1.\end{array}\)

Vậy \(H\left( {2; - 1;3} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng (d’) và nằm trong mặt phẳng (P) thì nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]\) làm một VTCP.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;1;1} \right)\) là 1VTPT của (P).

           \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {1;3; - 1} \right)\) là một 1VTCP của (d’).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot d' \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{u_{d'}}} \\d \subset \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \)\(\overrightarrow {{u_d}} \) cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]\).

Lại có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,1\\3\,\,\, - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\\ - 1\,\,\,\,\,\,1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,1\\1\,\,\,\,\,\,\,3\end{array} \right|} \right) = \left( { - 4;2;2} \right)\).

Do đó có thể chọn \(\overrightarrow {{u_d}}  = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \dfrac{1}{2}\left( { - 4;2;2} \right) = \left( { - 2;1;1} \right)\) làm 1 VTCP của (d).

Chọn D.