30 bài tập trắc nghiệm phép quay

Làm bài

Câu hỏi 1 :

Cho A(3;0). Phép quay tâm O, góc \({{90}^{0}}\) biến A thành:

  • A (-3; 0)                        
  • B  (3; 0)                          
  • C  (0; -3)                        
  • D  (0; 3)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phép quay tâm O góc \({{90}^{0}}\( biến A thành A’ khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OA;OA'} \right) = {90^0}\\OA = OA'\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy A thuộc tia Ox nên phép quay tâm O góc 900 biến điểm A thành điểm A’ thuộc tia Oy, tức là A’(0; a) với a > 0.

Vậy chỉ có đáp án B thỏa mãn và đương nhiên khi A’(0; 3) thì OA = OA’ = 3.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

 Ảnh của N(1; -3) qua phép quay tâm O góc -90o  là:

  • A  N’(-3;- 1)                                        
  • B  N’(3; 1)                                           
  • C  N’(-1; 3)                                          
  • D  N’(1; 3)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

N’ là ảnh của N qua phép quay tâm O góc  khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}

ON = ON'\\\left( {\overrightarrow {ON} ;\overrightarrow {ON'} } \right) =  - {90^0}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(N\left( {x;y} \right) = {Q_{\left( {O; - {{90}^o}} \right)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ON = ON'\\\left( {\overrightarrow {ON} ;\overrightarrow {ON'} } \right) =  - {90^0}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {ON'}  = 0 \Leftrightarrow \left( {1; - 3} \right)\left( {x;y} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y = 0 \Leftrightarrow x = 3y\\O{N^2} = ON{'^2} \Leftrightarrow {1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = {x^2} + {y^2}\\ \Rightarrow 9{y^2} + {y^2} = 10 \Leftrightarrow 10{y^2} = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Tuy nhiên góc quay là \(-{{90}^{0}}\) nên chỉ có điểm \(N\left( -3;-1 \right)\) thỏa mãn.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(B\left( -3;6 \right)\). Tìm tọa độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay \((-{{90}^{0}}).\)

  • A \(E(-6;-3).\)                             
  • B \(E(-3;-6).\)                 
  • C \(E(6;\,3).\)                  
  • D \(E(3;\,6).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Biểu diễn điểm B trên hệ trục tọa độ Oxy, xác định ảnh E của B qu phép quay O góc quay \((-{{90}^{0}}).\)

Từ đó, kết luận tọa độ điểm E.

Lời giải chi tiết:

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) (thứ tự các đỉnh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ) có tâm \(O\) và \(AB=a,BC=a\sqrt{3}\). Phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha \left( {{0}^{0}}<\alpha <{{180}^{0}} \right)\) biến đoạn \(AC\) thành \(BD\). Góc \(\alpha \) có số đo là:

  • A \({{120}^{0}}\)                                 
  • B \(-{{60}^{0}}\)                                 
  • C  \(-{{120}^{0}}\)                
  • D  \({{60}^{0}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xác định góc \(\alpha \) chính là góc \(\widehat{AOB}\), tính góc \(\widehat{AOB}\) sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình vẽ ta thấy:

\({{Q}_{\left( O,\widehat{AOB} \right)}}\left( A \right)=B;{{Q}_{\left( O,\widehat{AOB} \right)}}\left( C \right)=D\Rightarrow {{Q}_{\left( O,\widehat{AOB} \right)}}\left( AC \right)=BD\)

Do đó góc \(\alpha \) chính là góc \(\widehat{AOB}\).

Xét tam giác \(ABC\) có \(AB=a;BC=a\sqrt{3}\Rightarrow \tan \widehat{CAB}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{CAB}=\widehat{OAB}={{60}^{0}}\)

Suy ra \(\Delta OAB\) đều \(\Rightarrow \widehat{AOB}={{60}^{0}}\).

Vậy \(\alpha ={{60}^{0}}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Trong mặt phẳng tọa đô Oxy, cho đường thẳng \(d:3x-y+2=0\). Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay \(-{{90}^{0}}\)

  • A  \(d':x+3y-2=0\).                     
  • B \(d':3x-y-6=0\).                       
  • C  \(d':x-3y-2=0\).                      
  • D  \(d':x+3y+2=0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác \(\alpha \), phép biến hình :

- biến điểm O thành chính nó,

- biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho

OM = OM’ và góc lượng giác(OM,OM’) = \(\alpha \)

           gọi là phép quay tâm O, góc quay\(\alpha \)

Kí hiệu: Q(O,\(\alpha \))

 

 

 

Vậy: Q(O,\(\alpha \))(M) = M’\(\Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{align}  OM=OM' \\  (\overset\frown{OM,OM'})=\alpha  \\ \end{align} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của \(d:3x-y+2=0\)với trục Ox, Oy lần lượt là: \(B\left( -\frac{2}{3};0 \right),\,\,A(0;2)\).

Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép quay tâm O góc quay \(-{{90}^{0}}\). Khi đó, dễ dàng kiểm tra được : \(A'(2;0),\,\,B'\left( 0;\frac{2}{3} \right)\).

d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay \(-{{90}^{0}}\) chính là đường thẳng A’B’ và có phương trình là:

\(\frac{x}{2}+\frac{y}{\frac{2}{3}}=1\Leftrightarrow \frac{x}{2}+\frac{3y}{2}=1\Leftrightarrow x+3y-2=0\)

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm G. Phép quay tâm G với góc nào dưới đây biến tam giác ABC thành chính nó?

  • A \({30^0}\)
  • B \({45^0}\)
  • C \({60^0}\)
  • D \({120^0}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Vẽ hình và dựa vào hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy phép quay tâm G góc \({120^0}\) biến điểm A thành B, biến điểm B thành C và biến điểm C thành A, do đó phép quay tâm G góc \({120^0}\) biến tam giác ABC thành chính nó.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho phép quay \(Q\left( {O;\alpha } \right)\) biến điểm A thành điểm M và các khẳng định sau:

a) O cách đều A và M

b) O thuộc đường tròn đường kính AM.

c) \(\widehat {AOM} = \alpha \)

Số khẳng định đúng là:

  • A 3
  • B 2
  • C 1
  • D 0

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa phép quay: Phép quay tâm O góc \(\alpha \) biến điểm M thành điểm M’ khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}OM = OM'\\\widehat {MOM'} = \alpha\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Phép quay tâm O góc \(\alpha \) biến điểm A thành điểm M khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{  OA = OM \hfill \cr   \widehat {AOM} = \alpha  \hfill \cr}  \right.\)

Vậy khẳng định a) và c) đúng, khẳng định b) sai vì O là tâm đường tròn đường kính AM chứ O không thuộc đường tròn đường kính AM.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm \(M\left( {1;1} \right)\). Hỏi trong bốn điểm được cho ở các phương án dưới đây, điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc \({45^0}\).

  • A \(A\left( {1;0} \right)\)
  • B \(B\left( {0;\sqrt 2 } \right)\)
  • C \(C\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\)
  • D \(D\left( { - 1;1} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua phép quay tâm O góc \(\alpha \): \(\left\{ \matrix{  x' = x\cos \alpha  - y\sin \alpha  \hfill \cr   y' = x\sin \alpha  + y\cos \alpha  \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của điểm \(M\left( {1;1} \right)\) qua phép quay tâm O góc \({45^0}\) nên ta có:

\(\left\{ \matrix{  x' = \cos {45^0} - \sin {45^0} = 0 \hfill \cr   y' = \sin {45^0} + \cos {45^0} = \sqrt 2  \hfill \cr}  \right. \Rightarrow M'\left( {0;\sqrt 2 } \right) \equiv B\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O, góc quay \(\alpha \,\,\left( {0 < \alpha  \le 2\pi } \right)\) biến hình vuông đã cho thành chính nó.

  • A 1
  • B

    2

  • C 3
  • D 4

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Có 4 phép quay biến hình vuông thành chính nó là \(Q\left( {O;{{90}^0}} \right),\,Q\left( {O;{{180}^0}} \right),\,Q\left( {O;{{270}^0}} \right),\,Q\left( {O;{{360}^0}} \right)\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Xét phép quay tâm O, góc quay \(\alpha  \ne k2\pi ,k \in Z\). Hỏi có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua \(Q\left( {O;\alpha } \right)\) đã cho.

  • A 1
  • B Vô số
  • C Không có
  • D 2

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phép quay tâm O góc quay \(\alpha  \ne k2\pi ,k \in Z\) biến điểm O thành chính nó.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng \(a:\,\,2x + y + 5 = 0\) và \(b:\,\,x - 2y - 3 = 0\). Nếu có một phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc đó có thể là góc nào trong các góc cho dưới đây:

  • A \({45^0}\)
  • B \({90^0}\)
  • C \({120^0}\)
  • D \({60^0}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng a và b.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\overrightarrow n _a} = \left( {2;1} \right),{\overrightarrow n _b} = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _a}.{\overrightarrow n _b} = 0 \Rightarrow a \bot b\)

Do đó tồn tại phép quay góc \({90^0}\) biến đường thẳng này thành đường thẳng kia.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\). Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:

  • A \(M'\left( { - 1; - 1} \right)\)
  • B \(M'\left( {1;1} \right)\)
  • C \(M'\left( { - 1;1} \right)\)
  • D \(M'\left( {1;0} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định góc quay.

Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua phép quay tâm O góc \(\alpha \): \(\left\{ \matrix{  x' = x\cos \alpha  - y\sin \alpha  \hfill \cr   y' = x\sin \alpha  + y\cos \alpha  \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết:

Phép quay tâm O biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\) là phép quay tâm O góc \({90^0}\)

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) qua phép quay tâm O góc \({90^0}\) ta có: \(\left\{ \matrix{  x' = 1.\cos {90^0} + 1.\sin {90^0} \hfill \cr   y' = 1.\sin {90^0} - 1.\cos {90^0} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x' = 1 \hfill \cr   y' = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow M'\left( {1;1} \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho tam giác ABC đều tâm O và các đường cao AA’, BB’, CC’ (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều quay của kim đồng hồ). Ảnh của đường cao AA’ qua phép quay \(Q\left( {O;{{240}^0}} \right)\) là:

  • A BB’
  • B Một đoạn thẳng qua O và song song BC
  • C AA’     
  • D CC' 

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Vẽ hình và tìm ảnh của điểm A và A’ qua phép quay \(Q\left( {O;{{240}^0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {Q_{\left( {O;{{240}^0}} \right)}}\left( A \right) = B,\,\,{Q_{\left( {O;{{240}^0}} \right)}}\left( {A'} \right) = B'  \cr  &  \Rightarrow {Q_{\left( {O;{{240}^0}} \right)}}\left( {AA'} \right) = BB' \cr} \)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Gọi m là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm I góc quay \(\alpha \) (biết rằng I không nằm trên d), đường thẳng d song song với m khi:

  • A \(\varphi  = {\pi  \over 3}\)
  • B \(\varphi  =  - \pi \)
  • C \(\varphi  = {\pi  \over 6}\)
  • D \(\varphi  = {{2\pi } \over 3}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta dễ thấy chỉ có phép quay tâm I góc quay \(\varphi  =  - \pi \) biến d thành m sao cho d // m.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Chọn câu sai ?

  • A Qua phép quay \({Q_{\left( {O;\varphi } \right)}}\) điểm O biến thành chính nó.
  • B Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O, góc \( - {180^0}\)
  • C Phép quay tâm O góc quay \({90^0}\) và phép quay tâm O góc quay \( - {90^0}\) là hai phép quay giống nhau.
  • D Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O, góc quay \({180^0}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án, có thể sử dụng hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

Hiển nhiên A đúng.

 B và D đúng.

Ảnh của hai phép quay tâm O góc quay \({90^0}\) và phép quay tâm O góc quay \( - {90^0}\) đối xứng nhau qua O.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay :

  • A Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và điểm M khác O thành điểm M’ sao cho \(\left( {OM;OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \).
  • B Nếu \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}:\,\,\,M\,\, \mapsto \,\,M'\,\,\left( {M \ne O} \right)\) thì \(OM' \bot OM\)
  • C Phép quay không phải là phép dời hình.
  • D Nếu \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}:\,\,\,M\,\, \mapsto \,\,M'\,\,\left( {M \ne O} \right)\) thì \(OM' > OM\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án, có thể sử dụng hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

A sai vì thiếu điều kiện \(OM = OM'\)

C sai, phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên phép quay là 1 phép dời hình.

D hiển nhiên sai.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Phép quay tâm O góc \( - {90^0}\) biến đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x + 1 = 0\) thành đường tròn có phương trình:

  • A \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3\)
  • B \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\)
  • C \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\)
  • D \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( {I;R} \right)\) qua phép quay tâm O góc quay \(\alpha \) biến thành đường tròn \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O;\alpha } \right)}}\left( I \right) = I'\\R = R'\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn (C) có tâm \(I\left( {2;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {0^2} - 1}  = \sqrt 3 \)

\({Q_{\left( {O; - {{90}^0}} \right)}}\left( I \right) = I'\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow {Q_{\left( {O; - {{90}^0}} \right)}}:\,\,\left( C \right)\,\, \mapsto \,\,\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( {0; - 2} \right)\) và bán kính \(R' = R = \sqrt 3 \)

Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là: \({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 3\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng cắt nhau dd’. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?

  • A  2.                                           
  • B  0.                                           
  • C  1.                                           
  • D  Vô số.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Có vô số phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d’, đó là: \(Q\left( {I;\,\,\alpha } \right)\), trong đó, I là điểm nằm trên đường phân giác các góc tạo bởi hai đường thẳng, \(\alpha  = {\alpha _0} + k2\pi ,\,\,k \in Z\) hoặc  \(\alpha  = \pi  - {\alpha _0} + k2\pi ,\,\,k \in Z\) (\({\alpha _0}\)là góc giữa hai đường thẳng d và d’)

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm \(M\left( {3;2} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M'\)là ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}\).

  • A \(M'\left( { - 2;3} \right)\).                             
  • B \(M'\left( {2;3} \right)\).                                
  • C  \(M'\left( { - 2; - 3} \right)\).             
  • D  \(M'\left( {2; - 3} \right)\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Biểu diễn trên hệ trục tọa độ Oxy.

Lời giải chi tiết:

 

Ảnh của điểm qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}\)là \(M'\left( { - 2;3} \right)\).

Chọn: A 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

          Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:y=x.\) Tìm ảnh của d qua phép quay tâm O góc \({{90}^{0}}\).

  • A

    \(d':y=2x.\)                             

  • B

     \(d':y=-x.\)                             

  • C

     \(d':y=-2x.\)                          

  • D  \(d':y=x.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm O góc quay \(\alpha :\,\,\left\{ \begin{align}  x'=x\cos \alpha -y\sin \alpha  \\  y'=x\sin \alpha +y\cos \alpha  \\ \end{align} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Phép quay tâm O góc quay 900biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thỏa mãn hệ phương trình: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos 90 - y\sin 90 =  - y\\y' = x\sin 90 + y\cos 90 = x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y'\\y =  - x'\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {y'; - x'} \right)\)

\(M\) thuộc đường thẳng \(y=x\Rightarrow -x'=y'\Leftrightarrow y'=-x'\). Vậy M’ thuộc đường thẳng \(y=-x\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:\,x + y = 0\). Tìm phương trình đường thẳng \(d'\) là ảnh của đường thẳng d qua phép quay \(Q\left( {O; - {{90}^0}} \right)\).

  • A  \(x - y + 1 = 0\).                     
  • B  \(x - y - 1 = 0\).                      
  • C  \(x - y = 0\).                           
  • D  \(x - 90y = 0\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Qua phép quay \(Q\left( {O; - {{90}^0}} \right)\), đường thẳng d  biến thành đường thẳng d’ vuông góc với d .

Lời giải chi tiết:

Qua phép quay \(Q\left( {O; - {{90}^0}} \right)\), đường thẳng d  biến thành đường thẳng d’ vuông góc với \( \Rightarrow \left( {d'} \right):\,x - y + m = 0\)

Do  \(O\left( {0;0} \right) \in d \Rightarrow Q\left( {O; - {{90}^0}} \right):\,\,O \mapsto O \in d'\)

\( \Rightarrow 0 - 0 + m = 0 \Leftrightarrow m = 0\,\,\,\,\, \Rightarrow \left( {d'} \right):x - y = 0\).

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {ABC} = {60^0}\). Phép quay tâm I góc quay \(\alpha  = {90^0}\) biến \(A\) thành \(M\), biến \(B\) thành \(N\), biến \(C\) thành \(H\). Khi đó tam giác \(MNH\) là:

  • A Tam giác vuông cân
  • B Tam giác vuông
  • C Tam giác không đều
  • D Tam giác đều

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phép quay là một phép dời hình.

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và \(\widehat {ABC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC\) đều.

\(\left\{ \matrix{  {Q_{\left( {I;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = M \hfill \cr   {Q_{\left( {I;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = N \hfill \cr   {Q_{\left( {I;{{90}^0}} \right)}}\left( C \right) = H \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {Q_{\left( {I;{{90}^0}} \right)}}\left( {\Delta ABC} \right) = \Delta MNH\)

Phép quay là một phép dời hình \( \Rightarrow \) Phép quay biến tam giác đều thành tam giác đều, do đó \(\Delta MNH\) đều.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng \(d:\,\,2x - y + 1 = 0\). Để phép quay tâm I góc quay \(2017\pi \) biến d thành chính nó thì tọa độ của I là:

  • A \(\left( {2;1} \right)\)
  • B \(\left( {2; - 1} \right)\)
  • C

    \(\left( {1;0} \right)\)

  • D \(\left( {0;1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\({Q_{\left( {I;2017\pi } \right)}} = {Q_{\left( {I;\pi } \right)}}\) là phép đối xứng tâm I.

Lời giải chi tiết:

\({Q_{\left( {I;2017\pi } \right)}} = {Q_{\left( {I;\pi } \right)}}\) là phép đối xứng tâm I, do đó để phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành chính nó thì \(I \in d\), xét bốn đáp án ta thấy chỉ có đáp án D, điểm \(I\left( {0;1} \right) \in d\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Khẳng định nào sai ?

  • A Phép tịnh tiến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó.
  • B Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
  • C Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó.
  • D Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa phép dời hình: Phép dời hình là phép bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lời giải chi tiết:

Phép quay và phép tịnh tiến đều là phép dời hình, do đó các đáp án A, C, D đúng.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O, biết OA = a . Phép quay \({Q_{\left( {C,\pi } \right)}}\) biến A thành A’, biến B thành B’. Độ dài đoạn A’B’ là:          

  • A \(2a\cos {36^o}\)
  • B \(a\cos {72^o}\)           
  • C \(a\sin {72^o}\)
  • D \(2a\sin {36^o}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phép quay là phép dời hình \( \Rightarrow A'B' = AB\)

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB tính độ dài đoạn thẳng AB.

Lời giải chi tiết:

\({Q_{\left( {C;\pi } \right)}}\left( A \right) = A',\,\,{Q_{\left( {C;\pi } \right)}}\left( B \right) = B' \Rightarrow {Q_{\left( {C;\pi } \right)}}\left( {AB} \right) = A'B' \Rightarrow A'B' = AB\)

Xét tam giác cân OAB có \(\widehat {AOB} = {{{{360}^0}} \over 5} = {72^0}\)

Áp dụng định lí Cosin ta có :

\(\eqalign{  & A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos \widehat {AOB}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}.\cos {72^0} = 2{a^2}\left( {1 - \cos {{72}^0}} \right) = 2{a^2}.2{\sin ^2}{36^0} = 4{a^2}{\sin ^2}{36^0}  \cr   &  \Rightarrow AB = 2a\sin {36^0} \Rightarrow A'B' = 2a\sin {36^0} \cr} \)

Chọn D. 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho lục giác đều ABCDEF, tâm O, thực hiện lần lượt phép quay tâm O góc quay \({60^0}\) và phép tịnh tiến theo vector \(\overrightarrow {OC} \) thì ảnh của tam giác ABO là:

  • A \(\Delta BOC\)
  • B \(\Delta OCD\)
  • C \(\Delta OFE\)
  • D \(\Delta AOF\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Thực hiện lần lượt phép quay \({Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}\) và phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {OC} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  {Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}\left( A \right) = F \hfill \cr  {Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}\left( B \right) = A \hfill \cr  {Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}\left( O \right) = O \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}\left( {ABO} \right) = FAO  \cr  & \left\{ \matrix{  {T_{\overrightarrow {OC} }}\left( F \right) = O \hfill \cr  {T_{\overrightarrow {OC} }}\left( A \right) = B \hfill \cr  {T_{\overrightarrow {OC} }}\left( O \right) = C \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {T_{\overrightarrow {OC} }}\left( {FAO} \right) = OBC  \cr  &  \Rightarrow \Delta AOB\,\,\buildrel {{Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}} \over \longrightarrow \,\,\Delta FAO\,\,\buildrel {{T_{\overrightarrow {OC} }}} \over \longrightarrow \,\,\Delta OBC \cr} \)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng \(d:\,\,x - y + 4 = 0\). Hỏi trong 4 đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường thẳng nào có thể biến thành d qua phép quay tâm \(I\left( {0;3} \right)\) góc quay \(\pi \) ?

  • A \(2x + y - 4 = 0\)
  • B \(2x + 2y - 3 = 0\)
  • C \(x - y + 2 = 0\)
  • D \(2x - 2y + 1 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \), ta có: \({Q_{\left( {I;\pi } \right)}}:\,\,\Delta \,\, \mapsto \,\,d \Rightarrow {Q_{\left( {I; - \pi } \right)}}:\,\,d\,\, \mapsto \,\,\Delta \)

Ta lấy hai điểm bất kì thuộc d và tìm ảnh của hai điểm đó qua phép quay \(Q\left( {I; - \pi } \right)\) sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai ảnh vừa tìm được, đó chính là đường thẳng cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \), ta có: \({Q_{\left( {I;\pi } \right)}}:\,\,\Delta \,\, \mapsto \,\,d \Rightarrow {Q_{\left( {I; - \pi } \right)}}:\,\,d\,\, \mapsto \,\,\Delta \)

Ta lấy hai điểm bất kì thuộc d và tìm ảnh của hai điểm đó qua phép quay \(Q\left( {I; - \pi } \right)\)

Lấy \(A\left( {0;4} \right);B\left( { - 4;0} \right) \in d\).

Gọi \(A',B'\) lần lượt là ảnh của A và B qua phép quay \(Q\left( {I; - \pi } \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IA'\\\widehat {AIA'} = - {180^0}\end{array} \right.\)

I là trung điểm của AA’ \( \Rightarrow A'\left( {0;2} \right)\).

Tương tự ta có I là trung điểm của BB’ \( \Rightarrow B'\left( {4;6} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và B là : \({{x - 0} \over {4 - 0}} = {{y - 2} \over {6 - 2}} \Leftrightarrow {x \over 4} = {{y - 2} \over 4} \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)

Chọn C.  

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho hình vuông ABCD trong đó \(A\left( {1;1} \right),B\left( { - 1;1} \right),C\left( { - 1; - 1} \right),D\left( {1; - 1} \right)\). Xét phép quay \(Q\left( {O;{\pi  \over 4}} \right)\). Giả sử hình vuông A’B’C’D’ là ảnh của ABCD qua phép quay đó. Gọi S là diện tích hình vuông A’B’C’D’ nằm ngoài hình vuông ABCD. Tính S.

  • A \(S = 6 - 4\sqrt 2 \)
  • B \(S = 12 - 8\sqrt 2 \)
  • C \(S = 1\)
  • D \(S = \sqrt 2 \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Vẽ hình, xác định hình vuông A’B’C’D’.

Xác định phần diện tích hình vuông A’B’C’D’ nằm ngoài hình vuông ABCD và tính diện tích đó.

Lời giải chi tiết:

\({Q_{\left( {O;{\pi  \over 4}} \right)}}\left( A \right) = A',{Q_{\left( {O;{\pi  \over 4}} \right)}}\left( B \right) = B',{Q_{\left( {O;{\pi  \over 4}} \right)}}\left( C \right) = C',{Q_{\left( {O;{\pi  \over 4}} \right)}}\left( D \right) = D'\) như hình vẽ.

Ta có: \(OA' = OA = \sqrt 2  \Rightarrow A'H = \sqrt 2  - 1\)

Dễ thấy tam giác A’EF là tam giác vuông cân tại A’ \( \Rightarrow EF = 2A'H = 2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta A'EF}} = {1 \over 2}A'H.EF = {1 \over 2}\left( {\sqrt 2  - 1} \right).2\left( {\sqrt 2  - 1} \right) = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\)

Vậy diện tích hình vuông A’B’C’D’ nằm ngoài hình vuông ABCD là \(S = 4{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} = 4\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 12 - 8\sqrt 2 \)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho \({\Delta _1}:2x - y + 1 = 0,\,\;{\Delta _2}:2x - y + 2 = 0,\;{\Delta _3}:y - 1 = 0\). Phép quay \({Q_{\left( {I,{{180}^o}} \right)}}\) biến \({\Delta _1}\) thành \({\Delta _2}\), biến \({\Delta _3}\) thành chính nó. Tìm tọa độ điểm I.

  • A \(\left( {0;1} \right)\)
  • B \(\left( { - {1 \over 2};1} \right)\)
  • C \(\left( {{1 \over 2};1} \right)\)
  • D \(\left( { - {1 \over 4};1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phép quay \({Q_{\left( {I,{{180}^o}} \right)}}\)  biến \({\Delta _3}\) thành chính nó, do đó \(I \in {\Delta _3} \Rightarrow I\left( {a;1} \right)\)

Lấy điểm bất kì thuộc \({\Delta _1}\), tìm ảnh của điểm đó qua phép quay \({Q_{\left( {I,{{180}^o}} \right)}}\), ảnh vừa tìm được thuộc \({\Delta _2}\).

Lời giải chi tiết:

Phép quay \({Q_{\left( {I,{{180}^o}} \right)}}\) biến \({\Delta _3}\) thành chính nó, do đó \(I \in {\Delta _3} \Rightarrow I\left( {a;1} \right)\)

Lấy điểm \(A\left( {0;1} \right) \in {\Delta _1};\,\,{Q_{\left( {I;{{180}^0}} \right)}}\left( A \right) = A' \Rightarrow \) I là trung điểm của AA’ \( \Rightarrow A'\left( {2a;1} \right)\)

Phép quay \({Q_{\left( {I,{{180}^o}} \right)}}\) là phép đối xứng tâm I, biến \({\Delta _1}\,\, \mapsto \,\,{\Delta _2} \Rightarrow A' \in {\Delta _2}\), thay vào ta có:

\(2.2a - 1 + 2 = 0 \Leftrightarrow 4a + 1 = 0 \Leftrightarrow a =  - {1 \over 4}\)

Vậy \(I\left( { - {1 \over 4};1} \right)\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho hình vuông ABCD. Gọi Q là phép quay tâm A biến B thành D, \({{Q}^{'}}\) là phép quay tâm C biến D thành B. Khi đó, hợp thành của hai phép biến hình Q và \({{Q}^{'}}\)(tức là thực hiện phép quay Q trước sau đó tiếp tục thực hiện phép quay \({{Q}^{'}}\)) là:

  • A Phép quay tâm B góc quay \({{90}^{\circ }}\) .
  • B  Phép đối xứng tâm B.
  • C Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{AB}\) .
  • D  Phép đối xứng trục BC.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phương pháp:

- Chọn một điểm đặc biệt rồi thực hiện liên liếp các phép quay tìm ảnh.

- Đối chiếu các đáp án, đáp án nào có ảnh trùng với ảnh vừa tìm thì nhận.

Cách giải:

 

\(Q\) là phép quay tâm \(A\)góc quay \({{90}^{0}}\), \(Q'\) là phép quay tâm \(C\) góc quay \({{270}^{0}}\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Phép quay \(Q\) biến \(M\) thành \(M'\) là trung điểm của \(AD\).

Dựng \(d\bot CM'\) và \(d\) cắt \(AB\)

 tại \(M’’\). Khi đó \(Q’\) biến \(M’\) thành \(M’’\).

Khi đó \(B\) là trung điểm của \(MM’’\) nên đó chính là phép đối xứng qua tâm \(B\).

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

close