Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa các góc: so le trong, đồng vị, trong cùng phía, đối đỉnh.

Lời giải chi tiết:

Hai góc \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{AC\text{D}}\) là hai góc trong cùng phía.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì các cặp góc so le trong, đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau.

-        Áp dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh.

Hai góc so le trong chưa chắc đã bằng nhau. Cần thêm điều kiện là song song: 

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì ta mới có: 

các cặp góc so le trong, đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau.

Lời giải chi tiết:

-        Các đáp án A, B, D sai vì phải thêm điều kiện: Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra các cặp góc so le trong, so le ngoài, đồng vị bằng nhau.

-        Đáp án C đúng vì hai đường thẳng cắt nhau luôn tạo ra hai cặp góc đối đỉnh bằng nhau.

Chọn C

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Từ hình vẽ ta có \(\widehat{A}=\widehat{B}={{45}^{0}}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(x//\,y\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Áp dụng cách viết giả thiết kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: Giả thiết: "Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau" ; Kết luận: " Hai góc so le trong còn lại bằng nhau."

Chọn B

Phương pháp giải:

 Áp dụng tính chất: hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat{{{O}_{2}}}=\widehat{{{O}_{4}}}\) (đối đỉnh), mà \(\widehat{{{O}_{2}}}+\widehat{{{O}_{4}}}={{100}^{0}}\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{{{O}_{2}}}\,=\widehat{{{O}_{4}}}={{100}^{0}}:2={{50}^{0}}\)

Lại có:\(\widehat{{{O}_{2}}}+\widehat{{{O}_{3}}}={{180}^{0}}\) (kề bù) \(\Rightarrow \widehat{{{O}_{3}}}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}={{130}^{0}}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh.

Lời giải chi tiết:

Với n đường thẳng phân biệt giao nhau tại 1 điểm có 2n tia chung gốc.

Số góc tạo bởi hai tia chung gốc là: \(2n\left( 2n-1 \right):2=n\left( 2n-1 \right)\)

Trong đó có n góc bẹt. Số góc còn lại là \(2n\left( n-1 \right)\)  

Vậy số cặp góc đối đỉnh là: \(n\left( n-1 \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

 Áp dụng tính chất hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

-        Tính chất hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Vì \(a\bot c,\,b\bot c\left( gt \right)\Rightarrow a//\,b\Rightarrow \widehat{aAB}+\widehat{ABb}={{180}^{0}}\Rightarrow x+y={{180}^{0}}\) (2 góc trong cùng phía bù nhau)

\(\Rightarrow x={{180}^{0}}-y\)

Lại có:

 \(\begin{align}  & 2\text{x}=3y\left( gt \right)\Rightarrow 2\left( {{180}^{0}}-y \right)=3y \\ & \Leftrightarrow {{360}^{0}}-2y=3y \\ & \Leftrightarrow 5y={{360}^{0}}\Rightarrow y={{360}^{0}}:5={{72}^{0}} \\ & \Rightarrow x={{180}^{0}}-{{72}^{0}}={{108}^{0}} \\\end{align}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song, tiên đề Ơ-Clit.

-        Tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(CF//\,AB\Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{ACF}={{180}^{0}}\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow \widehat{ACF}={{180}^{0}}-\widehat{BAC}={{180}^{0}}-{{120}^{0}}={{60}^{0}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & AB//\,DE \\ & CF//\,AB \\\end{align} \right.\left( gt \right)\Rightarrow DE//\,CF.\)  

\(\Rightarrow \widehat{FCD}+\widehat{C\text{D}E}={{180}^{0}}\) (2 góc trong cùng phía)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \widehat{DCF}={{180}^{0}}-\widehat{C\text{D}E}={{180}^{0}}-{{130}^{0}}={{50}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{AC\text{D}}=\widehat{ACF}+\widehat{FC\text{D}}={{60}^{0}}+{{50}^{0}}={{110}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{AC\text{D}}+\widehat{C\text{D}E}={{120}^{0}}+{{110}^{0}}+{{130}^{0}}={{360}^{0}} \\\end{align}\)

Chọn D

Phương pháp giải:

 Áp dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh, tính chất tia phân giác của môt góc.

Lời giải chi tiết:

a) Các tia OA và OC, OB và OD là các tia đối nhau, do đó hai góc \(\widehat{BOC}\) và \(\widehat{AO\text{D}}\) là hai góc đối đỉnh.

Ta có: \(\widehat{AOB}+\widehat{BOC}={{180}^{0}}\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{BOC}={{180}^{0}}-\widehat{AOB}={{180}^{0}}-{{135}^{0}}={{45}^{0}}\)

b) Gọi Om, On lần lượt là hai tia phân giác của \(\widehat{BOC}\) và \(\widehat{AO\text{D}}\)

Do đó, ta có: \(\widehat{BOm}=\widehat{mOC}=\frac{\widehat{BOC}}{2},\,\widehat{AOn}=\widehat{DOn}=\frac{\widehat{AOD}}{2}\) (tính chất tia phân giác của 1 góc)

\(\widehat{BOC}=\widehat{AO\text{D}}\) (đối đỉnh) \(\Rightarrow \widehat{BOm}=\widehat{mOC}=\widehat{DOn}=\widehat{nOA}\)

\(\Rightarrow \widehat{nOm}=\widehat{nO\text{D}}+\widehat{DOC}+\widehat{COm}=\widehat{nO\text{D}}+\widehat{nOA}+\widehat{DOC}=\widehat{AO\text{D}}+\widehat{DOC}={{180}^{0}}\left( gt \right)\)

\(\Rightarrow \widehat{nOm}\) là góc bẹt, vì thế hai tia Om và On là hai tia đối nhau.

Vậy hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau.

Chọn C

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh.

Lời giải chi tiết:

Các cặp góc đối đỉnh là: \(\widehat{{{B}_{1}}}\) và \(\widehat{{{B}_{3}}}\)  \(\widehat{{{B}_{2}}}\) và \(\widehat{{{B}_{4}}}\)  \(\widehat{{{A}_{1}}}\) và \(\widehat{{{A}_{3}}}\)  \(\widehat{{{A}_{2}}}\) và \(\widehat{{{A}_{4}}}\)  Vậy hình vẽ trên có tất cả 4 cặp góc đối đỉnh.

Chọn D.

Phương pháp giải:

 Áp dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh.

Lời giải chi tiết:

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh góc này là tia đối của một cạnh góc kia.

Chọn C

Phương pháp giải:

Dựa vào quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng:

1) Nếu hai đường thẳng (phân biệt) cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

\(\left. \begin{array}{l}a \bot c\\b \bot c\end{array} \right\} \Rightarrow a//b\)

2) Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

\(\left. \begin{array}{l}a//b\\c \bot a\end{array} \right\} \Rightarrow c \bot b\)

3) Hai đường thẳng (phân biệt) cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

\(\left. \begin{array}{l}a//c\\b//c\end{array} \right\} \Rightarrow a//b\)

Lời giải chi tiết:

Với 3 đường thẳng \(a,b,c\) . Nếu \(a \bot b\) và \(b \bot c\) thì \(a \bot c\). \( \Rightarrow \) Sai.

Vì  nếu hai đường thẳng (phân biệt) cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

\(\left. \begin{array}{l}a \bot c\\b \bot c\end{array} \right\} \Rightarrow a//b\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh, hai góc kề bù.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{B}_{4}}}={{60}^{0}}\) (đối đỉnh)

\(\widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{B}_{2}}}={{180}^{0}}\) (kề bù) \(\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}={{180}^{0}}-\widehat{{{B}_{2}}}={{180}^{0}}-{{60}^{0}}={{120}^{0}}\)

\(\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{3}}}={{120}^{0}}\) (đối đỉnh)

Chọn A

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa hai góc so le trong.

Lời giải chi tiết:

-        Các cặp góc so le trong là: \(\widehat{{{M}_{3}}}\) và \(\widehat{{{N}_{1}}}\)  \(\widehat{{{M}_{2}}}\) và \(\widehat{{{N}_{4}}}\)      

Chọn B

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{A}_{2}}}={{180}^{0}}\) (kề bù) \(\Rightarrow \widehat{{{A}_{2}}}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}={{130}^{0}}\)

Vì \(a//\,b\Rightarrow \widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{{{B}_{1}}}={{130}^{0}}\) (đồng vị)

Chọn D

Phương pháp giải:

 Áp dụng tính chất tia phân giác của một góc, dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Vì Ax và AB là hai tia đối nhau nên ta có:

\(\widehat{xAC}+\widehat{CAB}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{xAC}={{180}^{0}}-\widehat{CAB}={{180}^{0}}-{{100}^{0}}={{80}^{0}}\)

Vì tia Ay là phân giác của \(\widehat{xAC}\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{xAy}=\widehat{xAC}:2={{80}^{0}}:2={{40}^{0}}\Rightarrow \widehat{xAy}=\widehat{ABC}\left( ={{40}^{0}} \right)\)

Mà hai góc đó ở vị trí đồng vị nên suy ra \(Ay//\,BC.\)

Phương pháp giải:

 Áp dụng tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

-        Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song, hai góc kề bù.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & a\bot AB \\ & b\bot AB \\\end{align} \right.\Rightarrow a//\,b\Rightarrow \widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{N}_{1}}}={{60}^{0}}\) (đồng vị)

Lại có: \(\widehat{{{N}_{1}}}+\widehat{{{N}_{2}}}={{180}^{0}}\) (kề bù) \(\Rightarrow \widehat{{{N}_{2}}}={{180}^{0}}-{{60}^{0}}={{120}^{0}}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat{tOm}=\widehat{nOz}={{71}^{0}}\) (đối đỉnh).

+) \(\left\{ \begin{align}  & \widehat{y\text{O}t}+\widehat{zOx}={{70}^{0}} \\  & \widehat{y\text{O}t}=\widehat{zOx} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{y\text{O}t}=\widehat{zOx}={{70}^{0}}:2={{35}^{0}}\) (đối đỉnh)

+) \(\widehat{y\text{O}n}+\widehat{y\text{O}t}+\widehat{tOm}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{y\text{O}n}={{180}^{0}}-\widehat{y\text{O}t}-\widehat{tOm}={{180}^{0}}-{{35}^{0}}-{{71}^{0}}={{74}^{0}}\)

\(\Rightarrow \widehat{y\text{O}n}=\widehat{mOx}={{74}^{0}}\) (hai góc đối đỉnh)

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x//\,z\,\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{{{D}_{1}}}={{180}^{0}}\) (2 góc trong cùng phía bù nhau)

\(\Rightarrow \widehat{{{D}_{1}}}={{180}^{0}}-\widehat{A}={{180}^{0}}-{{125}^{0}}={{55}^{0}}\)

\(z//\,y\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{{{D}_{2}}}=\widehat{DEC}={{37}^{0}}\) (hai góc so le trong)

Mà: \(\widehat{A\text{D}E}=\widehat{{{D}_{1}}}+\widehat{{{D}_{2}}}={{55}^{0}}+{{37}^{0}}={{92}^{0}}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Kẻ Bx là tia đối của tia Bc.

Ta có: \(\widehat{aAB}=\widehat{cBA}={{120}^{0}}\left( gt \right)\), mà hai góc ở vị trí so le trong nên suy ra \(a//\,c\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song) (1)

Vì Bx và Bc là hai tia đối nhau (gt) nên \(\Rightarrow \widehat{ABc}+\widehat{ABx}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{ABx}={{180}^{0}}-\widehat{ABc}={{180}^{0}}-{{120}^{0}}={{60}^{0}}\) (kề bù)

Lại có:

\(\begin{align}  & \widehat{ABx}+\widehat{xBC}=\widehat{ABC}\Rightarrow \widehat{xBC}=\widehat{ABC}-\widehat{ABx}={{80}^{0}}-{{60}^{0}}={{20}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{ABx}+\widehat{BCb}={{20}^{0}}+{{160}^{0}}={{180}^{0}} \\\end{align}\)

Mà hai góc đó là 2 góc trong cùng phía nên \(\Rightarrow x//\,b\) hay \(c//\,b\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(a//\,b//\,c\)

Phương pháp giải:

 Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\widehat{CAx}=\widehat{ACB}\left( gt \right)\) mà hai góc đó là hai góc so le trong nên

suy ra \(Ax//\,BC\) (1)

\(\widehat{BAy}=\widehat{ABC}\left( gt \right)\) mà hai góc đó là hai góc so le trong nên suy ra \(Ay//\,BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra Ax và Ay cùng // BC.

Lại có tia Ax thuộc mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, tia Ay thuộc mặt phẳng

bờ  AB không chứa điểm C

\(\Rightarrow \) Ax và Ay là hai tia đối nhau.

b) Vì Ax và Ay là hai tia đối nhau (cmt) mà \(Ax//\,BC\) và \(Ay//\,BC\)

 nên suy ra \(xy//\,BC\)

Mà \(BC\bot d\) nên suy ra \(d\bot xy\)

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\) và trong các góc tạo thành có một góc so le trong bằng nhau thì \(a\)// \(b\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và định lý tổng 3 góc trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

Kéo dài AH cắt Bb tại C

\( \Rightarrow \angle {C_1} = \angle A = {40^o}\) (so le trong)

Xét tam giác HBC có:

\(\angle BHC + \angle {B_1} + \angle {C_1} = {180^o}\) (định lý tổng 3 góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \angle {B_1} = {180^o} - \angle BHC - \angle {C_1} = {180^o} - {90^o} - {40^o} = {50^o}\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Góc đồng vị là các góc có cùng vị trí.

Lời giải chi tiết:

Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng phân biệt b, c. Số cặp góc đồng vị được tạo ra là 4

Chọn C

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau và hai góc trong cùng phía bù nhau.

Lời giải chi tiết:

Vì \(a//b\) nên \(\widehat {{A_1}} = \,\,\widehat {{B_1}}\) (hai góc so le trong)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 65^\circ  = x + 12^\circ \\ \Rightarrow x = 65^\circ  - 12^\circ  = 53^\circ \end{array}\)

Vậy \(x = 53^\circ \).

Chọn C