Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b, trong các góc tạo thành có 1 cặp góc so le trong bằng nhau thì \(a//b\).

Lời giải chi tiết:

Từ hình vẽ ta có đường thẳng t cắt hai đường thẳng x và y, tạo thành 1 cặp góc so le trong bằng nhau (cùng bằng \({{138}^{0}}\)) nên suy ra \(x//y\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b, trong các góc tạo thành có 1 cặp góc đồng vị bằng nhau thì \(a//b\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\widehat{{{H}_{1}}}\) và \(\widehat{{{K}_{1}}}\) là hai góc đồng vị nên để \(x//y\Leftrightarrow \widehat{{{H}_{1}}}=\widehat{{{K}_{1}}}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Nếu đường thẳng \(c\)cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\) và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì \(a//b\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng song song (trong mặt phẳng) là hai đường thẳng không có điểm chung.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Lời giải chi tiết:

+ Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

+ Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

+ Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc so le ngoài bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

nên cả A, B, C đều đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Lời giải chi tiết:

Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc trong cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng song song.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b, trong các góc tạo thành có 1 cặp góc so le trong bằng nhau thì \(a//b\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\widehat{{{E}_{1}}}\) và \(\widehat{BEF}\) là hai góc kề bù (gt)

\(\Rightarrow \widehat{{{E}_{1}}}+\widehat{BEF}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{BEF}={{180}^{0}}-\widehat{{{E}_{1}}}={{180}^{0}}-{{125}^{0}}={{55}^{0}}\Rightarrow \widehat{BEF}=\widehat{CFE}={{55}^{0}}\)

Mà \(\widehat{BEF}\) và \(\widehat{CFE}\) là hai góc so le trong nên suy ra \(AB//C\text{D}\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Phương pháp giải:

 Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b, trong các góc tạo thành có 1 cặp góc so le trong bằng nhau thì \(a//b\).

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta MNP\) có:

\(\widehat{N}+\widehat{NMP}+\widehat{P}={{180}^{0}}\) (định lí tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Rightarrow \widehat{P}={{180}^{0}}-\widehat{N}-\widehat{NMP}={{180}^{0}}-{{25}^{0}}-{{130}^{0}}={{25}^{0}}\) (1)

Ta có: \(\widehat{xMP}+\widehat{NMP}={{180}^{0}}\) (kề bù)

\(\Rightarrow \widehat{xMP}={{180}^{0}}-\widehat{NMP}={{180}^{0}}-{{130}^{0}}={{50}^{0}}\)

Mà My là tia phân giác của \(\widehat{xMP}\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{M}_{2}}}=\frac{\widehat{xMP}}{2}={{50}^{0}}:2={{25}^{0}}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{P}=\widehat{{{M}_{2}}}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(\Rightarrow My//\,NP\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a \bot c\) và  \(b \bot c\) suy ra \(a\)// \(b\) (theo quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Áp dụng  tính chất hai góc kề bù để tính \(\widehat {{A_2}};\,\widehat {{B_2}}.\)

+ Sử dụng dấu hiệu nhận biết để suy ra hai đường thẳng song song

Lời giải chi tiết:

 Vì \(\widehat {{A_1}};\widehat {{A_2}}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ \) \( \Rightarrow 120^\circ  + \widehat {{A_2}} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {{A_2}} = 60^\circ \)

Tương tự vì \(\widehat {{B_1}};\widehat {{B_2}}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = 180^\circ \) \( \Rightarrow 60^\circ  + \widehat {{B_2}} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {{B_2}} = 120^\circ \)

Nhận thấy \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_2}} = 120^\circ \) mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(a//b.\)

Vậy A sai.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng  tính chất hai đường thẳng song song để tính \(x.\) Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh để tính \(y.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(a//b\) nên \(\widehat {BAC} + \widehat {ACD} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra \(100^\circ  + x = 180^\circ  \Rightarrow x = 80^\circ \)

Tương tự ta có \(\widehat {ABD} + \widehat {CDB} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {CDB} = 60^\circ \)

Suy ra \(y = \widehat {CDB} = 60^\circ \) (hai góc đổi đỉnh)

Vậy \(x = 80^\circ ;y = 60^\circ .\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu đường thẳng \(c\)  cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b,\) trong các góc tạo thành có \(1\) cặp góc so le trong bằng nhau thì \(a//b\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\widehat {{E_1}}\) và \(\widehat {BEF}\) là hai góc kề bù (gt)

\( \Rightarrow \widehat {{E_1}} + \widehat {BEF} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BEF} = {180^0} - \widehat {{E_1}} = {180^0} - {125^0} = {55^0} \Rightarrow \widehat {BEF} = \widehat {CFE} = {55^0}\)

Mà \(\widehat {BEF}\)và \(\widehat {CFE}\) là hai góc so le trong nên suy ra \(AB//C{\rm{D}}\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{M_2}} = {180^0} - {55^0} = {125^0}\) (kề bù)

Vì \(x//y\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{M_2}} = \widehat {{N_1}} = {125^0}\) (2 góc đồng vị)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Vì \(a//b\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{B}_{1}}}\,={{100}^{0}}\) (hai góc so le trong)

Lại có: \(\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{B}_{2}}}={{180}^{0}}\) (hai góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow \widehat{{{B}_{2}}}={{180}^{0}}-\widehat{{{B}_{1}}}={{180}^{0}}-{{100}^{0}}={{80}^{0}}\)

Chọn B

Phương pháp giải:

áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Vì \(a\,//\,b\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{C}_{1}}}={{180}^{0}}\) (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Mà lại có:

\(\begin{align}  & \widehat{{{A}_{1}}}-\widehat{{{C}_{1}}}={{40}^{0}}\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\left( {{180}^{0}}+{{40}^{0}} \right):2={{110}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{{{C}_{1}}}={{110}^{0}}-{{40}^{0}}={{70}^{0}} \\\end{align}\)

Vì \(a\,//\,b\left( gt \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}={{110}^{0}} \\ & \widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}={{70}^{0}} \\\end{align} \right.\)(2 góc so le trong)

Chọn C

Phương pháp giải:

Quan sát hình rồi tìm hướng giải quyết sao cho thỏa mãn đề bài.

Lời giải chi tiết:

Từ \(A\) kẻ tia \(Ax//CD\)

Khi đó: \(\angle BAx = \angle BOC\) (Hai góc so le trong, \({\rm{Ax}}//CD\)

Vậy góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng \(AB,CD\) có số đo

bằng số đo của \(\angle BAx\)

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song:

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

+ Hai góc so le trong bằng nhau;

+ Hai góc đồng vị bằng nhau;

+ Hai góc trong cùng phía bù nhau;

Lời giải chi tiết:

Biết \(a//b\) và \(\angle {B_1} = {60^0}.\)

Quan sát hình đã cho, ta thấy, \({A_1} = {B_1}\, = {60^0}\,\,\left( {so\,le\,trong} \right)\).

\(\angle {A_2}\) và góc \(\angle {B_1}\) là hai góc ở vị trí trong cùng phía, do đó\(\angle {A_2} + \angle {B_1} = {180^0} \Rightarrow \angle {A_2} = {180^0} - \angle {B_1} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)

Vậy \(\angle {A_1} = {60^0};\,\,\,\angle {A_2} = {120^0}\)

Chọn D

Phương pháp giải:

a) Vận dụng kiến thức: Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo thành các cặp góc so le trong bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc các cặp góc trong cùng phía bù nhau.

b) Lấy một điểm \(O\) bất kì trong mặt phẳng, qua \(O\) dựng các đường thẳng song song với các đường thẳng đã cho.

Chứng minh bằng phản chứng, giả sử các góc tạo thành đều lớn hơn \({36^0}\) suy ra điều mâu thuẫn và kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Cho hình vẽ. Biết \(Bx//Oz,\,Oz//Ny\) và \(\widehat {xBO} = 130^\circ ,\widehat {ONy} = 140^\circ .\) Tính \(\widehat {NOB}.\)

Ta có \(Bx//Oz;\,Oz//Ny\) nên

Vẽ tia \(Oz'\) là tia đối của tia \(Oz\)

Ta có \(Oz'//Bx\) nên \(\widehat {xBO} + \widehat {{O_1}} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)

Mà \(\widehat {xBO} = 130^\circ \) nên \(\widehat {{O_1}} = 180^\circ  - 130^\circ  = 50^\circ \)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {ONy} + \widehat {{O_2}} = 180^\circ \) (do \(Oz'//Ny\))
mà \(\widehat {ONy} = 140^\circ \) nên \(\widehat {{O_2}} = 180^\circ  - 140^\circ  = 40^\circ \)

Tia \(Oz'\) chia góc \(NOB\) thành hai góc \({O_1}\) và góc \({O_2}\) nên \(\widehat {NOB} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 50^\circ  + 40^\circ  = 90^\circ \)

b) Cho \(5\) đường thẳng phân biệt sao cho không có \(2\) đường thẳng nào song song. Chứng minh tồn tại một cặp đường thẳng tạo với nhau một góc không quá \(36^\circ .\)

Lấy một điểm \(O\) bất kì, qua \(O\) kẻ các đường thẳng song song với \(5\) đường thẳng đã cho.

Khi đó tạo thành \(10\) góc tại \(O\) có tổng số đo bằng \({360^0}\), trong đó có \(5\) cặp góc đối đỉnh \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_6}},\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_7}},\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_8}},\) \(\widehat {{O_4}} = \widehat {{O_9}},\widehat {{O_5}} = \widehat {{O_{10}}}\) nên:

\(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} + \widehat {{O_5}}\)\( = \widehat {{O_6}} + \widehat {{O_7}} + \widehat {{O_8}} + \widehat {{O_9}} + \widehat {{O_{10}}} = \frac{{{{360}^0}}}{2} = {180^0}\)

Giả sử không tồn tại cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc không quá \({36^0}\) hay tất cả các góc tạo thành đều lớn hơn \({36^0}\).

Khi đó \(\widehat {{O_1}} > {36^0},\widehat {{O_2}} > {36^0},\widehat {{O_3}} > {36^0},\widehat {{O_4}} > {36^0},\widehat {{O_5}} > {36^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} + \widehat {{O_5}} > {36^0} + {36^0} + {36^0} + {36^0} + {36^0} = {180^0}\)

(mâu thuẫn vì \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} + \widehat {{O_5}} = {180^0}\))

Vậy phải tồn tại một cặp đường thẳng tạo với nhau một góc không quá \({36^0}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng tiên đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song

Lời giải chi tiết:

Tiên đề Ơ-clit: “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song song với đường thẳng đó.”

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:

+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau, hai góc so le ngoài bằng nhau.

+ Hai góc đồng vị bằng nhau

+ Hai góc trong cùng phía bù nhau

Nên cả (I), (II), (III), (IV) đều đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Vì \(a\,//\,b\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{C_1}} = {180^0}\) (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Mà lại có:

\(\begin{array}{l}\widehat {{A_1}} - \widehat {{C_1}} = {40^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \left( {{{180}^0} + {{40}^0}} \right):2 = {110^0}\\ \Rightarrow \widehat {{C_1}} = {110^0} - {40^0} = {70^0}\end{array}\)

Vì \(a\,//\,b\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_2}} = {110^0}\\\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_2}} = {70^0}\end{array} \right.\)(2 góc so le trong)

Vậy \(\widehat {{A_2}} = 70^\circ ;\,\widehat {{C_2}} = 110^\circ .\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Vì \(a//b\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\, = {100^0}\) (hai góc so le trong)

Lại có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_2}} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)

\( \Rightarrow \widehat {{B_2}} = {180^0} - \widehat {{B_1}} = {180^0} - {100^0} = {80^0}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng tiên đề Ơ-clit, tính chất hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\widehat A + \widehat {ABE} = 50^\circ  + 130^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí trong cùng phía nên \(AD//BE.\)

Vì \(\widehat {CBE} + \widehat C = 140^\circ  + 40^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí trong cùng phía nên \(BE//CG.\)

Vậy cả A, B đều đúng.

Chọn D. 

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, tính chất tia phân giác.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\widehat{xMa}+\widehat{aMx'}={{180}^{0}}\) (kề bù)

\(\Rightarrow \widehat{aMx'}={{180}^{0}}-{{100}^{0}}={{80}^{0}}\Rightarrow \widehat{aMx'}=\widehat{xNb}\left( ={{80}^{0}} \right)\)

Mà 2 góc đó ở vị trí so le trong nên suy ra \(Ma\,//\,Nb\).

b) Vì Mt là tia phân giác của \(\widehat{aMx'}\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{tMx'}=\frac{\widehat{aMx'}}{2}={{80}^{0}}:2={{40}^{0}}\) (tính chất tia phân giác)

Vì Nz là tia phân giác của \(\widehat{xNb}\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{xNz}=\frac{\widehat{xNb}}{2}={{80}^{0}}:2={{40}^{0}}\) (tính chất tia phân giác)

Mà 2 góc \(\widehat{tMx'}\) và \(\widehat{xNz}\) là hai góc ở vị trí so le trong nên \(\Rightarrow Mt//N\text{z}\)(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)