Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa của hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Lời giải chi tiết:

Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có: \(y=kx\Leftrightarrow k=\frac{y}{x}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thay các tọa độ có sẵn vào hàm số để tìm các tọa độ còn lại, từ đó suy ra điểm cần tìm.

Lời giải chi tiết:

a) Do M có hoành độ bằng 1, nên \(x = 1.\)

Thay \(x = 1\) vào \(y = 5x + 2\) ta được: \(y = 5.1 + 2 = 7.\)

Do đó: \(M(1; 7).\)

b) Do điểm N có tung độ bằng 1, nên y = 1.

Thay y = 1 vào y = 5x + 2 ta được: \(1=5x+2\Leftrightarrow 5x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{5}\).

Do đó: \(N\left( \frac{-1}{5};1 \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tỉ lệ nghịch, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi số máy cày của đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba lần lượt là x, y, z(\(x,\,y,\,z\,\,\in \,\,{{N}^{*}}\)).

Cùng cày thửa ruộng như nhau và năng suất các máy như nhau thì số máy cày và thời gian cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó x, y, z tỉ lệ nghịch với 2, 3, 4 và x – z = 3.

Ta có: \(2x=3y=4z\Rightarrow \frac{x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=\frac{x-z}{6-3}=\frac{3}{3}=1\)

Do đó:

\(\begin{align} & \frac{x}{6}=1\Rightarrow x=6 \\  & \frac{y}{4}=1\Rightarrow y=4 \\  & \frac{z}{3}=1\Rightarrow z=3 \\ \end{align}\)

Vậy số máy cày của đội thứ nhât, đội thứ hai và đội thứ ba thứ tự là 6, 4, 3 máy.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay các điều kiện đã cho vào hàm số dã cho để tìm ra điều kiện còn lại.

Lời giải chi tiết:

a. Do M(-3; 1) thuộc đồ thị hàm số y = ax nên :

\(1=-3.a\Leftrightarrow a=-\frac{1}{3}\Rightarrow y=-\frac{1}{3}x\)

b. Thay tọa độ của điểm N vào hàm số ta được: Với \(x=-5\Rightarrow y=-\frac{1}{3}.\left( -5 \right)=\frac{5}{3}\ne 2.\)

\(\Rightarrow \) Điểm N không thuộc đồ thị hàm số \(y=-\frac{1}{3}x.\) 

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tỉ lệ nghịch, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi số giấy vụn thu được của các chi đội \(7A_{1};\,\,7{{A}_{2}};\,\,7{{A}_{3}}\)  lần lượt là  \(x;\,\,y;\,\,z\,\,\,\left( kg \right),\,\,\,\left( x,\,\,y,\,\,z>0 \right).\)

Theo bài ra, ta có: \(\frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{y}{\frac{1}{6}}=\frac{z}{\frac{1}{5}}\) và x + y + z = 370.     

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:                                                                

\(\begin{array}{l}
\frac{x}{{\frac{1}{4}}} = \frac{y}{{\frac{1}{6}}} = \frac{z}{{\frac{1}{5}}} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{5}}} = \frac{{370}}{{\frac{{15 + 10 + 12}}{{60}}}} = \frac{{370}}{{\frac{{37}}{{60}}}} = 600\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 600.\frac{1}{4} = 150\,\,kg\\
y = 600.\frac{1}{6} = 100\,\,kg\\
z = 600.\frac{1}{5} = 120\,\,kg
\end{array} \right..
\end{array}\)                                                             

Vậy  Số giấy vụn thu được của các chi đội 7A₁ , 7A₂ , 7A₃ lần lượt là : 150(kg),  100(kg),  120(kg).

 Chọn D

Phương pháp giải:

Áp dụng khái niệm, tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.

Lời giải chi tiết:

Ta có :  y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là  2  nên \(y=\frac{2}{x}\)   

             z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 3  nên \(z=\frac{3}{y}\)

Do đó :  \(z=\frac{3}{y}=3:\frac{2}{x}=\frac{3x}{2}.\)                                                         

Vậy  z và x tỉ lệ thuận với nhau và hệ số tỉ lệ là \(\frac{3}{2}.\)

Phương pháp giải:

1) a) Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ để tìm x. \(\left| x \right|=\left\{ \begin{align}  & x\ \ khi\ \ \ x\ge 0 \\  & -x\ \ \ khi\ \ x<0 \\ \end{align} \right..\)

b) Áp dụng công thức \({{A}^{3}}={{B}^{3}}\) thì \(A=B\) và \({{A}^{2}}={{B}^{2}}\) thì \(\left[ \begin{align}  & A=B \\  & A=-B \\ \end{align} \right.\) để tìm x.

2) Tìm một điểm thuộc hàm số đã cho. Đồ thị của hàm số đã cho là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm thuộc hàm số đã cho đã tìm được.

      Để chứng minh 3 điểm không thẳng hàng ta chứng minh có ít nhất một điểm không thuộc cùng 1 đường thẳng, hay không cùng thuộc đồ thị của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

1)         a)  \(\left| \frac{1}{2}x-\frac{1}{6} \right|=\frac{1}{3}\)

            - Nếu \(\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}\ge 0\) tức \(x\ge \frac{1}{3}\) thì \(\left| \frac{1}{2}x-\frac{1}{6} \right|=\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}\)

Ta có phương trình \(\Leftrightarrow \frac{1}{2}x-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=1\ \ \ \ \left( tmdk\ \ x\ge \frac{1}{3} \right)\)

- Nếu \(\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}<0\) tức là x < \(\frac{1}{3}\) thì \(\left| \frac{1}{2}x-\frac{1}{6} \right|=-\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{6} \right)=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}x\)

Ta có phương trình \(\Leftrightarrow \frac{1}{6}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=\frac{-1}{6}\Leftrightarrow x=\frac{-1}{3}\ \ \ \left( tmdk\ \ x<\frac{1}{3} \right)\)

Vậy \(x = 1\) hoặc \(x=-\frac{1}{3}.\)

b)          

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;{\left( {4{x^2} - 3} \right)^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow {\left( {4{x^2} - 3} \right)^3} = - 8\\
\Leftrightarrow 4{x^2} - 3 = - 2 \Leftrightarrow 4{x^2} = 1\\
\Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| x \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\\
x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(x=\frac{-1}{2}\) hoặc \(x=\frac{1}{2}\)

2) Vẽ đồ thị hàm số \(y=-\frac{1}{2}x\) .

- Khi \(x=-2\) thì \(y=\frac{-1}{2}.\left( -2 \right)=1\)  

Vậy điểm \(C\left( -2;\ 1 \right)\) thuộc đồ thị của hàm số . \(y=-\frac{1}{2}x\)

Đồ thị của hàm số này là đường thẳng OC trong hình vẽ bên.

- Xét điểm A, B thấy điểm C thuộc đồ thị \(y=-\frac{1}{2}x\)  còn điểm B không thuộc đồ thị , thật vậy:

            + Khi x = \(-12\) thì \(y=\frac{-1}{2}.(-12)=6\ne -6\) nên điểm B(\(-12;\ -6\)) không thuộc đồ thị \(y=-\frac{1}{2}x\).

            + Khi \(x=2\) thì \(y=\frac{-1}{2}.2=-1\) nên điểm \(A\left( 2;-1 \right)\) thuộc đồ thị \(y=-\frac{1}{2}x\)

Điểm A, C thuộc đồ thị \(y=-\frac{1}{2}x\)  còn điểm B không thuộc đồ thị \(y=-\frac{1}{2}x\)  nên 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. (đpcm)

Chọn C

Phương pháp giải:

a) Thay các giá trị \(x = 0;\,x = 2\) vào \(f(x)\) rồi tính giá trị.

b)  Đồ thị hàm số \(y =  - 2x\) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O\). Do đó ta chỉ cần tìm thêm một điểm \(A\) nằm trên đường thẳng đó bằng cách thay \(x\) bằng một giá trị bất kì rồi tìm \(y\) tương ứng. Đồ thị hàm số \(y =  - 2x\) chính là đường thẳng \(OA\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}f(0) = {2.0^2} - 3 = 2.0 - 3 = 0 - 3 =  - 3\\f(2) = {2.2^2} - 3 = 2.4 - 3 = 8 - 3 = 5\end{array}\)

b) Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - 2x\)

Đồ thị hàm số \(y =  - 2x\) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O\).

Cho \(x = 1\) suy ra \(y =  - 2.1 =  - 2\). Khi đó ta có điểm \(A(1; - 2)\).

Đồ thị hàm số \(y =  - 2x\) là đường thẳng \(OA\) (xem hình vẽ)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thay lần lượt \(x =  - 5\) ; \(x = 0,7\) ; \(x = 3\frac{1}{4} = \frac{{13}}{4}\) vào hàm số để tính.

Lời giải chi tiết:

\(f\left( { - 5} \right) = \frac{{ - 2}}{5}.\left( { - 5} \right) + 3 = 2 + 3 = 5\)

\(f\left( {0,7} \right) = \frac{{ - 2}}{5}.0,7 + 3 = \frac{{ - 2}}{5}.\frac{7}{{10}} + 3 = \frac{{ - 7}}{{25}} + 3 = \frac{{68}}{{25}}\)

\(f\left( {3\frac{1}{4}} \right) = f\left( {\frac{{13}}{4}} \right) = \frac{{ - 2}}{5}.\frac{{13}}{4} + 3 = \frac{{ - 13}}{{10}} + 3 = \frac{{17}}{{10}}\)

Chọn đáp án D

Phương pháp giải:

a) Lấy hai điểm thuộc đồ thị hàm số :

- Cho \(x = 0\) tìm giá trị của \(y.\)

- Cho \(x = 1\) tìm giá trị tương ứng của \(y.\)

Nối hai điểm vừa tìm được, ta có đồ thị của hàm số.

b) Vận dụng kiến thức : Điểm \(A\left( {{x_A},{y_A}} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số \(y = ax\) khi \({y_A} = a{x_A}.\)

Lời giải chi tiết:

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{2}x\)

Khi \(x = 0\) thì \(y = \frac{3}{2} \cdot 0 = 0\)

Khi \(x = 1\) thì \(y = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}\)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;0} \right);\,B\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\), từ đó ta có đồ thị của hàm số \(y = \frac{3}{2}x\)

b) Cho \(A\left( {12;18} \right)\) và \(B\left( {20;25} \right)\). Hỏi đồ thị của hàm số trên đi qua điểm nào trong hai điểm đã cho? Giải thích?

Ta có :

\(18 = \frac{3}{2} \cdot 12\) nên điểm \(A\left( {12;18} \right)\) nằm trên đồ thị của hàm số \(y = \frac{3}{2}x\)

\(25 \ne \frac{3}{2} \cdot 20\) nên điểm \(B\left( {20;25} \right)\) không nằm trên đồ thị của hàm số \(y = \frac{3}{2}x\).

Phương pháp giải:

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm cùng thuộc một đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy (-1) = (-1). 1;    2 = (-1).(-2);    0 = (-1).0.

Nên các điểm A(-1; 1); B(2; -2); và O(0; 0) cùng thuộc đồ thị hàm số y = -x.

Do đó ba điểm A, B, O thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Từ biểu thức thứ nhất ta suy ra được \(x=4y\) . Thay giá trị của \(x=4y\) vào biểu thức còn lại để tìm y. Từ đó suy ra \(x\) và nhớ chú ý điều kiện \(x\ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{x}{y}=4\Rightarrow x=4y.\)

Thay vào biểu thức \(xy=9\) ta được: \(4y.y=9\Leftrightarrow {{y}^{2}}=\frac{9}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & y=\frac{3}{2} \\  & y=-\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)

+) Với \(y=\frac{3}{2}\Rightarrow x=4.\frac{3}{2}=6\,\,\left( tm \right).\)

+) Với \(y=-\frac{3}{2}\Rightarrow y=4.\left( -\frac{3}{2} \right)=-6\,\,\,\left( ktm \right).\)

Vậy \(\left( x;\,\,y \right)=\left( 6;\,\,\frac{3}{2} \right)\)

Chọn C

Phương pháp giải:

+ Thay \(x = \frac{1}{3}\) vào \(f\left( x \right) + 2.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2}\)  ta được \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.f\left( 3 \right) = \frac{1}{9}\).

+ Thay \(x = 3\) vào \(f\left( x \right) + 2.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2}\) . Ta được:

\(\begin{array}{l}f\left( 3 \right) + 2.f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 9\\ \Rightarrow f\left( 3 \right) = 9 - 2.f\left( {\frac{1}{3}} \right)\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Thay \(\left( * \right)\)  vào \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.f\left( 3 \right) = \frac{1}{9}\) ta tìm được \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

+ Thay \(x = \frac{1}{3}\) vào \(f\left( x \right) + 2.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2}\)  ta được \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.f\left( 3 \right) = \frac{1}{9}\).

+ Thay \(x = 3\) vào \(f\left( x \right) + 2.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2}\) . Ta được: \(f\left( 3 \right) + 2.f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 9 \Rightarrow f\left( 3 \right) = 9 - 2.f\left( {\frac{1}{3}} \right)\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

+ Thay \(\left( * \right)\)  vào \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.f\left( 3 \right) = \frac{1}{9}\) .Ta được:

\(\begin{array}{l}f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.f\left( 3 \right) = \frac{1}{9}\\ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.\left[ {9 - 2.f\left( {\frac{1}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{9}\\ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 18 - 4.f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{9}\\ \Rightarrow  - 3.f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{9} - 18\\ \Rightarrow 3.f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 18 - \frac{1}{9}\\ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 6 - \frac{1}{{27}} = \frac{{161}}{{27}}\end{array}\)

Vậy \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{161}}{{27}}\).

Chọn D