Phương pháp giải:

+) Ta tính giá trị của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

+) Sau đó bỏ dấu giá trị tuyệt đối và thực hiện phép tính theo thức tự thực hiện: nhân chia trước, cộng trừ sau; trong ngoặc trước và ngoài ngoặc sau.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align} & a)\left| \frac{-2}{5}+\frac{1}{2} \right|.\left( 1\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \right) \\ & =\left| \frac{-4}{10}+\frac{5}{10} \right|.\left( \frac{7}{4}-\frac{3}{4} \right) \\ & =\left| \frac{1}{10} \right|.\frac{4}{4}=\frac{1}{10}.1=\frac{1}{10} \\ \end{align}\) 

\(\begin{align} &b)\frac{8}{15}.\frac{75}{16}-\left| \frac{3}{4}+\frac{7}{6}-\frac{11}{12} \right| \\ & =\frac{1.5}{1.2}-\left| \frac{9}{12}+\frac{14}{12}-\frac{11}{12} \right| \\ & =\frac{5}{2}-\left| \frac{12}{12} \right|=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2} \\ \end{align} \)

Phương pháp giải:

+) Ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo quy tắc \(\left| x \right|=\left\{ \begin{align}& x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x\ge 0 \\& -x\,\,\,\,khi\,\,\,x\end{align} \right.\) sau đó tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

a. \(B=\frac{21}{99}-x-\left| x-\frac{4}{9} \right|\)

+) Với \(x\ge \frac{4}{9}\) thì \(x-\frac{4}{9}\ge 0\).

Suy ra \(\left| x-\frac{4}{9} \right|=x-\frac{4}{9}\)

\(B=\frac{21}{99}-x-\left| x-\frac{4}{9} \right|=\frac{21}{99}-x-\left( x-\frac{4}{9} \right)=\frac{21}{99}-x-x+\frac{4}{9} \\ =\left( \frac{21}{99}+\frac{4}{9} \right)-\left( x+x \right)=\left( \frac{21}{99}+\frac{44}{99} \right)-2x=\frac{65}{99}-2x\)

+) Với \(x<\frac{4}{9}\) thì \(x-\frac{4}{9}<0\).

Suy ra \(\left| x-\frac{4}{9} \right|=-\left( x-\frac{4}{9} \right)=\frac{4}{9}-x\) \(B=\frac{21}{99}-x-\left| x-\frac{4}{9} \right|=\frac{21}{99}-x-\left( \frac{4}{9}-x \right)\\=\frac{21}{99}-x+x-\frac{4}{9}=\left( \frac{21}{99}-\frac{4}{9} \right)+\left( x-x \right)=\left( \frac{21}{99}-\frac{44}{99} \right)+0=\frac{-23}{99}\)

b. \(C=2\left| x-3 \right|-\left| 4x-1 \right|\)

+ Với \(\frac{1}{4}\le x<3\)Với \(\frac{1}{4}\le x<3\)thì \(x-3<0\) và \(4x-1\ge 0\).

Suy ra \(\left| x-3 \right|=-(x-3)=3-x;\,\,\left| 4x-1 \right|=4x-1\)

Do đó \(C=2\left| x-3 \right|-\left| 4x-1 \right|=2.\left( 3-x \right)-(4x-1)=6-2x-4x+1=7-6x\)

Vậy C = 7 – 6x với \(\frac{1}{4}\le x<3\)

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phương pháp:+) Ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo quy tắc 

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\ - x\,\,\,\,khi\,\,\,x < 0\end{array} \right.\)

sau đó tìm x.

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)2\left| {3x - 1} \right| + 1 = 5\\\,\,\,\,\,2\left| {3x - 1} \right| = 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {3x - 1} \right| = 2\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 2\\3x - 1 = - 2\end{array} \right.\\ + )\,\,3x - 1 = 2\\\,\,\,\,\,\,\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1.\\ + )\,\,3x - 1 = - 2\\\,\,\,\,\,\,\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{1}{3}.\end{array}\)

vậy x = 1 hoặc   \(x =  - \frac{1}{3}.\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,\left| {7x + 1} \right| + \left| {5x + 6} \right| = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\left| {7x + 1} \right| = - \left| {5x + 6} \right|\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Ta có: \(\left| {7x - 1} \right| \ge 0\) với mọi x

            \( - \left| {5x + 6} \right| \le 0\)với mọi x

  Do đó (1) trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {7x - 1} \right| = 0\\\left| {5x + 6} \right| = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 1 = 0\\5x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{7}\\x = - \frac{6}{5}\end{array} \right.\)

    Do đó không tìm được x.

  Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.

c. \(\left| 2x-6 \right|+\left| x+3 \right|=8\)   (1)

+) Trường hợp 1: \(x\ge 3\) suy ra \(\left| 2x-6 \right|\ge 0\)và \(\left| x+3 \right|\ge 0\)

Suy ra \(\left| 2x-6 \right|=2x-6\), \(\left| x+3 \right|=x+3\)

Do đó (1) trở thành \(2x-6+x+3\Leftrightarrow 3x-3=8\)

 \(\begin{align}& \Leftrightarrow 3x=11 \\& \Leftrightarrow x=\frac{11}{3}\,\,\left( tm \right) \\\end{align}\)

+) Trường hợp 2: x < -3 suy ra \(\left| 2x-6 \right|<0\) và \(\left| x+3 \right|<0\)

Suy ra \(\left| 2x-6 \right|=-\left( 2x-6 \right)=6-2x;\,\,\,\left| x+3 \right|=-(x+3)=-3-x\)

Do đó (1) trở thành  \(6-2x-3-x=8\Leftrightarrow -3x+3=8\)

\(\begin{align}& \Leftrightarrow -3x=5 \\& \Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}\,\,\,\left( ktm \right) \\\end{align}\)

+) Trường hợp 3: \(-3\le x<3\) suy ra \(\left| 2x-6 \right|<0\) và \(\left| x+3 \right|\ge 0\)

Suy ra \(\left| 2x-6 \right|=-\left( 2x-6 \right)=6-2x\), \(\left| x+3 \right|=x+3\)

Do đó (1) trở thành \(6-2x+x+3=8\Leftrightarrow -x+9=8\)

 \(\begin{align}& \Leftrightarrow -x=-1 \\& \Leftrightarrow x=1\,\,\,\,\left( tm \right) \\\end{align}\)

Vậy \(x=\frac{11}{3};\,\,\,x=1.\) .

Phương pháp giải:

- Khử dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| a \right| = a\) nếu \(a \ge 0\) và  \(\left| a \right| =  - a\) nếu \(a < 0\).

- Biểu thức có chứa phép tính trừ và phép chia thì ta thực hiện phép tính chia trước, phép trừ sau.

Lời giải chi tiết:

\(\left| { - 3,4} \right|:\left| {1,7} \right| - 0,2 = 3,4:1,7 - 0,2 = 2 - 0,2 = 1,8\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Biến đổi số thập phân về phân số, và tính giá  trị tuyệt đối. Biểu thức \(\left| {x + \frac{1}{2}} \right|\) là số hạng chưa biết, muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết. Hoặc áp dụng quy tắc chuyển vế để tính.

Sau đó giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Lưu ý: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,(x \ge 0\\ - x\,\,\left( {x < 0} \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}0,5 + \left| {x + \frac{1}{2}} \right| = \left| {\frac{{ - 3}}{{\sqrt {16} }}} \right|\\\,\,\,\frac{1}{2} + \left| {x + \frac{1}{2}} \right| = \left| {\frac{{ - 3}}{4}} \right|\\\,\,\,\frac{1}{2} + \left| {x + \frac{1}{2}} \right| = \frac{3}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {x + \frac{1}{2}} \right| = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {x + \frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)hoặc \(x + \frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{4}\)

\( \Rightarrow x = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1}}{4} - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{4}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3}}{4}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 1}}{4}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3}}{4}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng qui tắc chuyển vế  để đưa về dạng \(\left| A \right| = a\)

TH1: \(A = a\)

TH2: \(A =  - a\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| {x + \frac{2}{5}} \right| - 2 =  - \frac{1}{4}\)

\(\left| {x + \frac{2}{5}} \right| =  - \frac{1}{4} + 2\)

\(\left| {x + \frac{2}{5}} \right| =  - \frac{1}{4} + \frac{8}{4}\)

\(\left| {x + \frac{2}{5}} \right| = \frac{7}{4}\)

TH1: \(x + \frac{2}{5} = \frac{7}{4}\)

\(x = \frac{7}{4} - \frac{2}{5}\)

\(x = \frac{{35}}{{20}} - \frac{8}{{20}}\)

\(x = \frac{{27}}{{20}}\)

TH2: \(x + \frac{2}{5} =  - \frac{7}{4}\)

\(x =  - \frac{7}{4} - \frac{2}{5}\)

\(x =  - \frac{{35}}{{20}} - \frac{8}{{20}}\)

\(x = \frac{{ - 43}}{{20}}\)

Tổng các giá trị của \(x\)  là \(\frac{{27}}{{20}} + \frac{{\left( { - 43} \right)}}{{20}} = \frac{{ - 16}}{{20}} = \frac{{ - 4}}{5}\) .

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng qui tắc chuyển vế  để đưa về dạng \(\left| A \right| = a\)

TH1: \(A = a\)

TH2: \(A =  - a\) .

Lời giải chi tiết:

Ta có \(7,5 - 3\left| {5 - 2x} \right| =  - 4,5\,\)

\(3\left| {5 - 2x} \right| = 7,5 - \left( { - 4,5} \right)\)

\(3\left| {5 - 2x} \right| = 12\)

\(\left| {5 - 2x} \right| = 12:3\)

\(\left| {5 - 2x} \right| = 4\)

TH1: \(5 - 2x = 4\)

\(2x = 5 - 4\)

\(2x = 1\)

\(x = \frac{1}{2}\)

TH2: \(5 - 2x =  - 4\)

\(2x = 5 - \left( { - 4} \right)\)

\(2x = 9\)

\(x = \frac{9}{2}\)

Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn là \(x = \frac{1}{2};\,x = \frac{9}{2}\) .

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất giao hoán của phép cộng để tính nhanh giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(21,6 + 34,7 + 78,4 + 65,3\)\( = \left( {21,6 + 78,4} \right) + \left( {34,7 + 65,3} \right)\)\( = 100 + 100 = 200.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng lí thuyết về giá trị tuyệt đối

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x \in \mathbb{Q}\) ta luôn có: \(\left| x \right| \ge 0;\,\left| x \right| = \left| { - x} \right|\) và \(\left| x \right| \ge x\).

Nên B sai.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thay \(x =  - 1\) vào \(A\) sau đó tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Thay \(x =  - 1\) vào \(A\) ta được

\(A = \left| { - 1 + 2,3} \right| - \left| { - 1,5} \right| = \left| {1,3} \right| - \left| { - 1,5} \right|\) \( = 1,3 - 1,5 =  - 0,2\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất giao hoán của phép cộng để tính nhanh giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left( { - 4,1} \right) + \left( { - 13,7} \right) + \left( { + 31} \right) + \left( { - 5,9} \right) + \left( { - 6,3} \right)\)

\( = \left[ {\left( { - 4,1} \right) + \left( { - 5,9} \right)} \right] + \left[ {\left( { - 13,7} \right) + \left( { - 6,3} \right)} \right] + 31\)

\( =  - 10 + \left( { - 20} \right) + 31\)

\( =  - 30 + 31\)

\( = 1\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất giao hoán của phép nhân để tính nhanh kết quả

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left( { - 0,5} \right).5.\left( { - 50} \right).0,02.\left( { - 0,2} \right).2\)

\( = \left[ {\left( { - 0,5} \right).2} \right].\left[ {\left( { - 50} \right).0,02} \right].\left[ {5.\left( { - 0,2} \right)} \right]\)

\( = \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) =  - 1\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Với mọi \(x \in \mathbb{Q}\) ta luôn có: \(\left| x \right| \ge 0\)

Và với mọi số hữu tỉ \(a,\,b,c\): Nếu \(a \ge b\) thì \(a + c \ge b + c\) để tìm giá trị nhỏ nhất.

Tổng quát: \(\left| A \right| + m \ge m\) , dấu “=” xảy ra khi \(A = 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| {\frac{1}{5} - x} \right| \ge 0\)  với mọi \(x \in \mathbb{Q}\)  nên \(\left| {\frac{1}{5} - x} \right| + 5 \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{Q}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left| {\frac{1}{5} - x} \right| = 0\) suy ra \(\frac{1}{5} - x = 0\) suy ra \(x = \frac{1}{5}\) .

Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(5\) khi \(x = \frac{1}{5}\) .

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Với mọi \(x \in \mathbb{Q}\) ta luôn có: \(\left| x \right| \ge 0\)

Và với mọi số hữu tỉ \(a,\,b,c\): Nếu \(a \ge b\) thì \(c - a \le c - b\) để tìm giá trị lớn nhất.

Tổng quát: \(m - \left| A \right| \le m\) , dấu “=” xảy ra khi \(A = 0\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left| {x + \frac{2}{3}} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{Q}\) nên \(F = 2 - \left| {x + \frac{2}{3}} \right| \le 2\)với mọi \(x \in \mathbb{Q}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x + \frac{2}{3} = 0\) suy ra \(x =  - \frac{2}{3}\).

Giá trị lớn nhất của \(F\) là \(2\) khi \(x =  - \frac{2}{3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Với mọi \(x \in \mathbb{Q}\) ta luôn có: \(\left| x \right| \ge 0\)

Và với mọi số hữu tỉ \(a,\,b,c\): Nếu \(a \ge b\) thì \(c - a \le c - b\) để tìm giá trị lớn nhất.

Tổng quát: \(m - \left| A \right| - \left| B \right| \le m\) , dấu “=” xảy ra khi \(A = 0\)và \(B = 0\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left| {5x - 5} \right| \ge 0;\,\left| {3y + 12} \right| \ge 0\) với mọi \(x,\,y\) nên

\(C = 4 - \left| {5x - 5} \right| - \left| {3y + 12} \right| \le 4\) với mọi \(x,y\)

Dấu “=” xảy ra khi \(5x - 5 = 0\) và \(3y + 12 = 0\) suy ra \(x = 1\) và \(y =  - 4\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(C\) là \(4\) khi \(x = 1;\,y =  - 4\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Với mọi \(x \in \mathbb{Q}\) ta luôn có: \(\left| x \right| \ge 0\) để đánh giá vế trái.

Từ đó tìm được \(x\).

Tổng quát: \(\left| A \right| + \left| B \right| = 0\) khi và chỉ khi \(A = 0\) và \(B = 0\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left| {x - 3,5} \right| \ge 0;\left| {x - 1,3} \right| \ge 0\) với mọi \(x\) nên \(\left| {x - 3,5} \right| + \left| {x - 1,3} \right| \ge 0\,\) với mọi \(x\).

Để \(\left| {x - 3,5} \right| + \left| {x - 1,3} \right| = 0\,\)      thì \(x - 3,5 = 0\) và \(x - 1,3 = 0\) suy ra \(x = 3,5\) và \(x = 1,3\)(vô lý vì \(x\) không thể đồng thời nhận cả hai giá trị).

Không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn đề bài.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để phá dấu giá trị tuyệt đối sau đó thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(P = \frac{5}{9} - \left| { - \frac{3}{5}} \right| + \left| {\frac{4}{9}} \right| + \left| {\frac{8}{5}} \right|\)\( = \frac{5}{9} - \frac{3}{5} + \frac{4}{9} + \frac{8}{5} = \left( {\frac{5}{9} + \frac{4}{9}} \right) + \left( {\frac{8}{5} - \frac{3}{5}} \right)\) \( = 1 + 1 = 2\)

Vậy \(P = 2 > 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {a - b} \right| \ge \left| a \right| - \left| b \right|\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab \ge 0\\\left| a \right| \ge \left| b \right|\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {a - b} \right| \ge \left| a \right| - \left| b \right|\) ta có:

\(A = \left| {x - 2017} \right| - \left| {x - 2018} \right| \le \left| {(x - 2017) - (x - 2018)} \right| = \left| 1 \right| = 1\)

Dấu “=” xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2018} \right)\left( {x - 2017} \right) \ge 0\\x - 2018 \le x - 2017\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2018\\x \le 2017\end{array} \right..\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(1\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để tìm GTLN. Ta luôn có \(\left| f\left( x \right) \right|\ge 0\,\,\,\forall x.\)

Lời giải chi tiết:

 \(A=5-\left| 2x-1 \right|\)

Vì  \(\left| 2x-1 \right|\ge 0\,\,\forall x\Rightarrow -\left| 2x-1 \right|\le 0\,\,\forall x\) . Suy ra \(A=5-\left| 2x-1 \right|\le 5\) với mọi x

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow 2x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\)

Vậy giá trị lớn nhất của A là 5 khi \(x=\frac{1}{2}\)

Chọn C