20 bài tập tổng hợp Ước chung lớn nhất

Làm bài

Câu hỏi 1 :

 Tìm \(UCLN\left( 18;60 \right)\) 

  • A \(6\)                
  • B \(30\)                          
  • C  \(12\)                    
  • D \(18\) 

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức \(U,UC,UCLN\) để tìm ra đáp án

- Tìm \(U(18),U(60),UC(18,60)\Rightarrow UCLN(18,60)\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{align}& U(18)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,2,3,6,9,18 }\!\!\}\!\!\text{ } \\& U(60)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 }\!\!\}\!\!\text{ } \\& \Rightarrow UC(18,60)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,2,3,6 }\!\!\}\!\!\text{ } \\& \Rightarrow UCLN(18,60)=6 \\\end{align}\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

\(UCLN\) của \(a\) và \(b\) là:

  • A  Bằng \(b\) nếu \(a\) chia hết cho \(b\)
  • B  Bằng \(a\) nếu \(a\) chia hết cho \(b\) 
  • C  Là ước chung nhỏ nhất của \(a\) và \(b\) 
  • D  Là hiệu của \(2\) số \(a\) và \(b\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Dựa vào kiến thức: nếu số tự nhiên \(a\)chia hết cho số tự nhiên \(b\) thì ta nói a là bội của \(b\), còn \(b\) là ước của \(a\).

- Dựa vào kiến thức khái niệm về \(UCLN:\text{ }UCLN\) của \(2\) hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp ước chung của các số đó.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Nếu \(a\) chia hết cho \(b\) thì \(b\) là ước của \(a\).

Mà \(b\) cũng là ước của \(b\) nên \(b\in UC\left( a;b \right)\).

Hơn nữa \(b\) là ước lớn nhất của \(b\) nên \(UCLN\left( a,b \right)=b\).

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

ƯCLN (6;18;60) là:

  • A 60
  • B 18
  • C 6
  • D 12

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(6 = 6.1;\;\;18 = 3.6;\;60 = 6.10\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {6;\;18;\;60} \right) = 6.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

ƯCLN (35; 36) là:

  • A 1
  • B 2
  • C 3
  • D 5

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phân tích các số 35 và 36 thành thừa số nguyên tố rồi tìm ước chung lớn nhất của hai số đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(35 = 5.7\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,36 = {2^2}{.3^2}\)

ƯCLN (35; 36) = 1

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

ƯCLN\((12;24;6)\) bằng:

  • A \(12\)                       
  • B \(6\)                                              
  • C \(3\)                                                 
  • D \(4\)    

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Cách 1: Phân tích các số \(12\,;\,\,24\) và \(6\) thành thừa số nguyên tố. Từ phân tích các số ra thừa số nguyên tố ta chọn các thừa số nguyên tố chung, sau đó lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ bé nhất của nó, tích đó là ƯCLN phải tìm.

 

Cách 2: nhận thấy \(12\) chia hết cho \(6\) và \(24\) chia hết cho \(6\), suy ra ƯCLN\((12;24;6) = 6\).

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Ta có: \(12 = {2^2}.3\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,24 = {2^3}.3\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6 = 2.3\)

ƯCLN\((12;24;6) = 2.3 = 6\)

Cách 2: nhận thấy \(12\) chia hết cho \(6\) và \(24\) chia hết cho \(6\), suy ra ƯCLN\((12;24;6) = 6\).

Vậy ƯCLN\((12;24;6) = 6\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Tìm số tự nhiên \(a\) biết \(UCLN\left( {a;\,\,8} \right) = 4\)  và \(a < 8\).

  • A \(a = 2.\)
  • B \(a = 3.\)
  • C \(a = 4.\)
  • D \(a = 6.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Xác định điều kiện:

+) Nếu \(a < b\) thì \(m < n\).

+) Nếu \(a > b\) thì \(m > n\).

- Áp dụng công thức \(UCLN\left( {a;b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = dm\\b = dn\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\left( {m;n} \right) = 1\)

- Từ đó tìm được \(m\) hoặc \(n\). Suy ra, giá trị của các số cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(UCLN\left( {a,\,\,8} \right) = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4.m\\8 = 4.n\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {m,n} \right) = 1,\,\,\,\left( {m < n,\,\,m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Từ \(8 = 4.n \Rightarrow n = 2\). Mà \(\left( {m,n} \right) = 1\) và \(m < n\) suy ra \(m < 2\).

Mà \(m \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow m = 1\)

\( \Rightarrow a = 4.1 = 4\).

Vậy \(a = 4.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Tìm ước chung lớn nhất của \(45\), \(75\) và \(135\).

  • A \(5\)
  • B \(15\)
  • C \(25\)
  • D \(3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

+) Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

+) Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ước chung lớn nhất phải tìm.

Lời giải chi tiết:

Phân tích \(45\),\(75\), \(135\) ra thừa số nguyên tố ta được:

\(45 = {3^2}.5\)

\(75 = {3.5^2}\)

\(135 = {3^3}.5\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {45;75;135} \right) = 3.5 = 15\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

\(UCLN\left( {50,\,\,150,\,\,200} \right)\)  là:

  • A \(10\)
  • B \(20\)    
  • C \(25\)
  • D \(50\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phân tích các số \(50,\,\,150,\,\,200\) ra thừa số nguyên tố rồi tìm ước chung lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(50 = {2.5^2}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,150 = {2.3.5^2}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,200 = {2^3}{.5^2}\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {50,\,\,150,\,\,200} \right) = {2.5^2} = 50\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho hai số tự nhiên \(a\) và \(b\) được phân tích thành các thừa số nguyên tố: \(a={{m}^{2}}.{{n}^{1}};b=m.{{n}^{2}}\), tính số ước chung của \(a\) và \(b\)

  • A  Có \(6\) ước chung. 
  • B  Có \(5\) ước chung.
  • C Có \(3\) ước chung. 
  • D Có \(4\) ước chung.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

-  Áp dụng tìm \(UCLN\) của \(2\)  hay nhiều số bằng cách:

+ Phân tích mỗi số đó ra thừa số nguyên tố.

+ Tìm các thừa số nguyên tố chung

+ Lập tích của các thừa số nguyên tố vừa tìm đươc, với số mũ nhỏ nhất của nó.

Tích đó chính là \(UCLN\)

- Sau khi tìm được \(UCLN\), ta áp dụng \(UCLN(a,b)=m.n\Rightarrow UC(a,b)=U(m.n)\)

Lời giải chi tiết:

 

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(a={{m}^{2}}.{{n}^{{}}};b=m.{{n}^{2}}\)

Vậy \(UCLN(a,b)=m.n\Rightarrow UC(a,b)=U(m.n)\).

Vậy số lượng ước chung của \(2\)  số \(a\) và \(b\) là số lượng ước của số \(m.n\)

Ta có số lượng \(U(m.n)\) là \((1+1).(1+1)=4\)(áp dụng kiến thức của bài ước số)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho \(36 = {2^2}{.3^2};60 = {2^2}.3.5;72 = {2^3}{.3^2}\). Ta có \(UCLN(36;60;72)\)là:

  • A \({2^3}.3.5\)
  • B \({2^2}{.3^2}\)
  • C \({2^2}.3\)
  • D \(3.5\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm UCLN: phân tích các số ra thừa số nguyên tố, chọn các thừa số chung. Mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất, tích của các số đó là UCLN

Lời giải chi tiết:

\(36 = {2^2}{.3^2};60 = {2^2}.3.5;72 = {2^3}{.3^2}\)

Ta số thừa số chung là \(2;3\)

Số mũ nhỏ nhất của \(2\) là \(2\); số mũ nhỏ nhất của \(3\)  là \(1\)

Vậy \(UCLN\left( {36;60;72} \right) = {2^2}.3\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Học sinh khối 6 của một trường có 120 nam và 112 nữ tham gia lao động. Giáo viên phụ trách muốn chia số học sinh trên ra thành các tổ gồm cả nam và nữ,  số nam được chia đều vào các tổ và số nữ cũng vậy. Hỏi có thể chia nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ?

  • A 14 nam; 15 nữ
  • B 18 nam; 16 nữ
  • C 15 nam; 14 nữ
  • D 20 nam; 16 nữ

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi x là số tổ được chia. Từ đề bài ta có \(120\,\, \vdots \,\,x\,;\,\,112\,\, \vdots \,\,x\) và x là lớn nhất nên x = ƯCLN(120; 112)

Tìm ƯCLN(120; 112) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố, sau đó số bạn nam, số bạn nữ của mỗi tổ.

Lời giải chi tiết:

Gọi x là số tổ được chia \(\left( {x \in {N^*}} \right).\) 

Vì số nam và số nữ được chia đều vào các tổ nên \(120\,\, \vdots \,\,x\,;\,\,112\,\, \vdots \,\,x\)

Lại có số tổ là là lớn nhất nên x = ƯCLN(120; 112).

Ta có: \(120 = {2^3}.3.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,112 = {2^4}.7\)

ƯCLN(120; 112) \( = \,\,{2^3} = 8\)

Vậy ta có thể chia thành nhiều nhất là 8 tổ.

Mỗi tổ có số bạn nam là: 120 : 8 = 15 (bạn)

Mỗi tổ có số bạn nữ là:  112: 8 =14 (bạn)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Để hưởng ứng phong trào xanh – sạch – đẹp, lớp 6A đã chia lớp thành các nhóm nhỏ khi lao động. Các bạn nam và nữ của lớp được chia đều vào trong các nhóm (không thừa bạn nào). Hỏi chia được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm, biết rằng lớp 6A có \(18\) bạn nam và \(24\) bạn nữ

  • A \(4\) nhóm
  • B \(5\) nhóm
  • C \(6\) nhóm
  • D \(7\) nhóm

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi số nhóm được chia là \(x\,\,(x > 0)\).

Theo đề bài ta phải có \(18\,\, \vdots \,\,x\,\,;\,\,\,\,24\,\, \vdots \,\,x\,\,\)và \(x\) là lớn nhất. Do đó \(x\) là ƯCLN \(\left( {18;{\rm{ }}24} \right).\)

Tìm ƯCLN \(\left( {18;{\rm{ }}24} \right)\) bằng cách phân tích các số \(18\,\,;\,\,24\) ra thừa số nguyên tố sau đó chọn ta các thừa số nguyên tố chung.  UCLN bằng tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của số đó.

 Số nhóm nhiều nhất có thể chia được chính là ƯCLN \((18\,\,;\,\,24)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi số nhóm được chia là \(x\,\,(x > 0)\).

Theo đề bài ta phải có \(18\,\, \vdots \,\,x\,\,;\,\,\,\,24\,\, \vdots \,\,x\,\,\)và \(x\) là lớn nhất. Do đó \(x\) là ƯCLN \(\left( {18;{\rm{ }}24} \right).\)

Ta có: \(18 = {2.3^2}\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,24 = {2^3}.3\).

ƯCLN\((18;\,\,24) = 2.3\,\, = \,\,6\).

Do đó \(x = 6\).

Vậy ta chia được nhiều nhất là \(6\) nhóm.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Trong một lần quyên góp đồ dùng học tập ủng hộ học sinh nghèo. Lớp 6A quyên góp được 126 quyển vở, 70 cái thước và 56 chiếc bút. Hỏi với số đồ dùng quyên góp được lớp 6A có thể chia được nhiều nhất thành mấy phần quà để số vở, thước, bút trong các phần là như nhau. Khi đó mỗi phần quà được mấy quyển vở, mấy cái thước, mấy cái bút? 

  • A \(10\) quyển vở; \(4\) cái thước; \(4\) cái bút
  • B \(9\) quyển vở; \(5\) cái thước; \(4\) cái bút
  • C \(8\) quyển vở; \(5\) cái thước; \(3\) cái bút
  • D \(11\) quyển vở; \(5\) cái thước; \(2\) cái bút

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn. Tính phần quà có thể chia nhiều nhất. Sau đó tính được mỗi phần quà có số lượng nao nhiêu quyển vở, thước và bút.

Lời giải chi tiết:

Gọi a (phần) là số phần quà nhiều nhất mà lớn 6A có thể chia được \(\left( {a \in {N^*}} \right)\)

Theo đề bài ta có :

\(a \in UC\left( {126;70;56} \right)\) và \(a\) là nhiều nhất

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = UCLN\left( {126;70;56} \right) = 2.7 = 14\\ \Rightarrow a = 14\end{array}\)

Vậy, lớp 6A có thể chia nhiều nhất thành 14 phần quà.

Khi đó, mỗi phần quà có :

\(126:14 = 9\) (quyển vở)

\(70:14 = 5\) (cái thước)

\(56:14 = 4\) (cái bút)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Tìm số tự nhiên \(x\) biết \(x\) lớn nhất, thỏa mãn \(100:x\); \(150:x\) và \(125:x\)

  • A \(x = 5\)
  • B \(x = 10\)
  • C \(x = 20\)
  • D \(x = 25\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dễ dàng nhận thấy \(x\) là số chia nên \(x\) là ước chung của các số đó. Đồng thời, \(x\) lớn nhất nên \(x\) là ước chung lớn nhất.

\( \Rightarrow \)Bài toán về dạng tìm ước chung lớn nhất của các số.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra, ta có:

\(\left. \begin{array}{l}125:x\\100:x\\150:x\end{array} \right\} \Rightarrow x \in UC\left( {100;125;150} \right)\)

Mà \(x\) lớn nhất \( \Rightarrow x = UCLN\left( {100;125;150} \right)\)

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

\(\begin{array}{l}125 = {5^3}\\100 = {2^2}{.5^2}\\150 = {2.3.5^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow x = UCLN\left( {100;125;150} \right) = {5^2} = 25\)

Vậy \(x = 25\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Tìm hai số tự nhiên có tích bằng \(720\) và có ước chung lớn nhất bằng \(6\).

  • A \(\left( {42;30} \right),\left( {30;42} \right),\left( {6;120} \right),\left( {120;6} \right).\)
  • B \(\left( {24;30} \right),\left( {30;24} \right),\left( {12;60} \right),\left( {12;60} \right).\)
  • C \(\left( {42;30} \right),\left( {30;42} \right),\left( {60;12} \right),\left( {12;60} \right).\)
  • D \(\left( {24;30} \right),\left( {30;24} \right),\left( {6;120} \right),\left( {120;6} \right).\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dạng bài:  Tìm hai số khi biết tích và ước chung lớn nhất của hai số đó.

+) Áp dụng công thức \(UCLN\left( {a;b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = dm\\b = dn\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {m;n} \right) = 1,\,\,\,\left( {m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

+) Thay ngược vào tích \(a.b\) để tìm giá trị của \(m\) và \(n\).

Lời giải chi tiết:

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \(a\) và \(b\).

Theo bài ra ta có: \(a.b = 720\) và  \(UCLN\left( {a,b} \right) = 6\).

Từ \(UCLN\left( {a,b} \right) = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6.m\\b = 6.n\end{array} \right.    \left( {m,n} \right) = 1,\,\,\left( {m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Thay \(a = 6.m\); \(b = 6.n\) vào \(a.b = 720\) ta có: \(6.m.6.n = 720 \Rightarrow m.n = 20\)

Mà \(\left( {m,n} \right) = 1\) nên ta có các trường hợp sau:

+) Với \(m = 4\), \(n = 5\)\( \Rightarrow a = 24{;^{}}b = 30\)

+) Với \(m = 5{;^{}}n = 4 \Rightarrow a = 30{;^{}}b = 24\)

+) Với \(m = 1\), \(n = 20\)\( \Rightarrow a = 6{;^{}}b = 120\)

+) Với \(m = 20\), \(n = 1\)\( \Rightarrow a = 120{;^{}}b = 6\)

Vậy các cặp số \(\left( {a;b} \right)\) cần tìm là \(\left( {24;30} \right),\left( {30;24} \right),\left( {6;120} \right),\left( {120;6} \right).\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Tìm hai số tự nhiên \(a\) và \(b\) biết \(a + b = 30\) và \(UCLN\left( {a,b} \right) = 10\).

  • A \(\left( {12;18} \right);_{}^{}\left( {18;12} \right)\)
  • B \(\left( {10;20} \right);_{}^{}\left( {20;10} \right)\)
  • C \(\left( {14;16} \right);_{}^{}\left( {16;14} \right)\)
  • D \(\left( {15;15} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và ước chung lớn nhất của hai số đó.

+) \(UCLN\left( {a;b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = dm\\b = dn\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {m;n} \right) = 1,\,\,\,\left( {m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

+) Thay vào tổng \(a + b\) để xác định được giá trị \(m,n\) cần tìm.

+) Tìm được các cặp số \(\left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: \(UCLN\left( {a,b} \right) = 10 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10.m\\b = 10.n\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\left( {m,n} \right) = 1\)

Thay \(a = 10.m\) và \(b = 10.n\) vào \(a + b = 30\) ta được:

\(10.m + 10.n = 30 \Rightarrow 10.\left( {m + n} \right) = 30 \Rightarrow m + n = 3\)

Mà \(\left( {m,n} \right) = 1\) nên ta có:

+) Với \(m = 1{,^{}}n = 2 \Rightarrow a = 10{,^{}}b = 20\)

+) Với \(m = 2{,^{}}n = 1 \Rightarrow a = 20{,^{}}b = 10\)

Vậy cặp số \(\left( {a;b} \right)\) cần tìm là \(\left( {10;20} \right);_{}^{}\left( {20;10} \right)\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Nhân dịp ngày Nhà Giáo Việt Nam Việt Nam 20/11, các em học sinh lớp \(6\) đã mua \(90\) hoa hồng, \(40\) hoa cúc để kết thành những bó hoa đẹp tặng Thầy (Cô) sao cho: số hoa hồng trong từng bó đều bằng nhau và số hoa cúc trong từng bó đều bằng nhau. Hỏi số bó hoa nhiều nhất có thể kết được là bao nhiêu?

  • A \(8\)
  • B \(9\)
  • C \(10\)
  • D \(12\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi \(x\) là số bó hoa kết được. \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Từ đề bài ta có \(90\,\, \vdots \,\,x\,\,;\,\,40\,\, \vdots \,\,x\) và \(x\)  là lớn nhất nên \(x = UCLN\left( {90\,;\,\,40} \right)\)

Tìm \(UCLN\left( {90\,;\,\,40} \right)\) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(x\) là số bó hoa kết được.  \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Vì số hoa hồng trong từng bó đều bằng nhau và số hoa cúc trong từng bó đều bằng nhau nên \(90\,\, \vdots \,\,x\,\,;\,\,40\,\, \vdots \,\,x\) .

Lại có số bó hoa là là nhiều nhất nên \(x = UCLN\left( {90\,;\,\,40} \right)\).

Ta có: \(90 = {2.3^2}.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,40 = {2^3}.5\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {90\,;\,\,40} \right) = 2.5 = 10\)

Do đó \(x = 10\).

Vậy ta có thể kết được nhiều nhất là \(10\) bó hoa.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho hai số tự nhiên \(a>b\) thỏa mãn \(a\vdots b\).  \(UCLN\left( a-b,b \right)\) là:

  • A \(b-1\)
  • B \(a\)
  • C \(a-b\)
  • D \(b\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng dấu hiệu chia hết của một hiệu và tính chất của ước chung lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

 

Hướng dẫn giải chi tiết:

Vì \(a\vdots b\) nên \(a=n.b\left( n>1 \right)\Rightarrow a-b=n.b-b=\left( n-1 \right).b\vdots b\).

Do đó \(\left( a-b \right)\vdots b\).

Vậy \(UCLN\left( a-b,b \right)=b\).

 Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau, \(a = 5n + 3;{\rm{ }}b = 6n + 1{\rm{ }}\left( {n{\rm{ }} \in N} \right)\). Tìm ước chung lớn nhất của a và b.

  • A 11
  • B 12
  • C 13
  • D 14

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi d là ước chung lớn nhất của 5n+3; 6n + 1, suy ra 5n+3 và 6n + 1 cùng chia hết cho d.

Ta sẽ giản ước n bằng cách nhân 5n+3 với 6 và nhân 6n + 1 với 5.

Suy ra (30n + 18) – (30n + 5) chia hết cho d. Từ đó ta tìm được d.

Lời giải chi tiết:

Gọi ƯCLN (a; b) = ƯCLN (5n+3; 6n + 1) = d.

Ta có:

5n + 3 chia hết cho d nên 6.(5n + 3) = 30n + 18 chia hết cho d.

6n + 1 chia hết cho d nên 5.(6n + 1) = 30n + 5 chia hết cho d.

\( \Rightarrow \) (30n + 18) – (30n + 5) chia hết cho d

\( \Rightarrow \) 13 chia hết cho d

\( \Rightarrow d \in \) Ư(13)

\( \Rightarrow d \in {\rm{\{ }} - {\rm{13;}}\, - {\rm{1 ; 1; 13\} }}\)

Mà 5n + 3 và 6n + 1 không nguyên tố cùng nhau và \(n \in N\) nên suy ra d = 13.

Vậy ước chung lớn nhất của 5n + 3 và 6n + 1 là 13.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Tìm ước chung lớn nhất của \(7n + 13\) và \(2n + 4\), với \(n \in \mathbb{N}\)

  • A \(UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 1\)
  • B \(UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 2\)
  • C \(\begin{array}{l}n = 2k + 1\,\, \Rightarrow UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 1\\n \ne 2k + 1\,\, \Rightarrow UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 2\end{array}\)
  • D \(\begin{array}{l}n = 2k + 1\,\, \Rightarrow UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 2\\n \ne 2k + 1\,\, \Rightarrow UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 1\end{array}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Xác định \(d\)  là ước chung của các số cho trước.

+) Ra kết quả \(d \ne 1\), thay ngược lại để tìm \(n\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung của\(7n + 13\) và \(2n + 4\)\(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}7n + 13 \vdots d\\2n + 4 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {7n + 13} \right) \vdots d\\7\left( {2n + 4} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}14n + 26 \vdots d\\14n + 28 \vdots d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {14n + 28} \right) - \left( {14n + 26} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 14n + 28 - 14n - 26 \vdots d\\ \Rightarrow 2 \vdots d\\ \Rightarrow d \in \left\{ {1;2} \right\}\end{array}\)

+) Với \(d = 2\) ta có \(7n + 13 \vdots 2 \Rightarrow 7\left( {n + 1} \right) + 6 \vdots 2\). Mà \(6 \vdots 2 \Rightarrow 7\left( {n + 1} \right) \vdots 2\).

Mặt khác, \(\left( {2;7} \right) = 1\) suy ra \(\left( {n + 1} \right) \vdots 2\)\( \Rightarrow n = 2k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Thử lại, với \(n = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}7\left( {2k + 1} \right) + 13 = 7.2k + 7 + 13 = 7.2k + 20\\7.2k\,\, \vdots \,\,2\\20\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right. \Rightarrow 7n + 13\,\, \vdots \,\,2\)

Kết luận:

+) Với \(n = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 2\).

+) Với \(n \ne 2k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)thì \(UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 1\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

close