Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức \(U,UC,UCLN\) để tìm ra đáp án

- Tìm \(U(18),U(60),UC(18,60)\Rightarrow UCLN(18,60)\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{align}& U(18)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,2,3,6,9,18 }\!\!\}\!\!\text{ } \\& U(60)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 }\!\!\}\!\!\text{ } \\& \Rightarrow UC(18,60)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,2,3,6 }\!\!\}\!\!\text{ } \\& \Rightarrow UCLN(18,60)=6 \\\end{align}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

- Dựa vào kiến thức: nếu số tự nhiên \(a\)chia hết cho số tự nhiên \(b\) thì ta nói a là bội của \(b\), còn \(b\) là ước của \(a\).

- Dựa vào kiến thức khái niệm về \(UCLN:\text{ }UCLN\) của \(2\) hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp ước chung của các số đó.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Nếu \(a\) chia hết cho \(b\) thì \(b\) là ước của \(a\).

Mà \(b\) cũng là ước của \(b\) nên \(b\in UC\left( a;b \right)\).

Hơn nữa \(b\) là ước lớn nhất của \(b\) nên \(UCLN\left( a,b \right)=b\).

Chọn A

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(6 = 6.1;\;\;18 = 3.6;\;60 = 6.10\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {6;\;18;\;60} \right) = 6.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phân tích các số 35 và 36 thành thừa số nguyên tố rồi tìm ước chung lớn nhất của hai số đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(35 = 5.7\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,36 = {2^2}{.3^2}\)

ƯCLN (35; 36) = 1

Chọn A

Phương pháp giải:

Cách 1: Phân tích các số \(12\,;\,\,24\) và \(6\) thành thừa số nguyên tố. Từ phân tích các số ra thừa số nguyên tố ta chọn các thừa số nguyên tố chung, sau đó lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ bé nhất của nó, tích đó là ƯCLN phải tìm.

Cách 2: nhận thấy \(12\) chia hết cho \(6\) và \(24\) chia hết cho \(6\), suy ra ƯCLN\((12;24;6) = 6\).

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Ta có: \(12 = {2^2}.3\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,24 = {2^3}.3\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6 = 2.3\)

ƯCLN\((12;24;6) = 2.3 = 6\)

Cách 2: nhận thấy \(12\) chia hết cho \(6\) và \(24\) chia hết cho \(6\), suy ra ƯCLN\((12;24;6) = 6\).

Vậy ƯCLN\((12;24;6) = 6\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Xác định điều kiện:

+) Nếu \(a < b\) thì \(m < n\).

+) Nếu \(a > b\) thì \(m > n\).

- Áp dụng công thức \(UCLN\left( {a;b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = dm\\b = dn\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\left( {m;n} \right) = 1\)

- Từ đó tìm được \(m\) hoặc \(n\). Suy ra, giá trị của các số cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(UCLN\left( {a,\,\,8} \right) = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4.m\\8 = 4.n\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {m,n} \right) = 1,\,\,\,\left( {m < n,\,\,m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Từ \(8 = 4.n \Rightarrow n = 2\). Mà \(\left( {m,n} \right) = 1\) và \(m < n\) suy ra \(m < 2\).

Mà \(m \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow m = 1\)

\( \Rightarrow a = 4.1 = 4\).

Vậy \(a = 4.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

+) Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

+) Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ước chung lớn nhất phải tìm.

Lời giải chi tiết:

Phân tích \(45\),\(75\), \(135\) ra thừa số nguyên tố ta được:

\(45 = {3^2}.5\)

\(75 = {3.5^2}\)

\(135 = {3^3}.5\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {45;75;135} \right) = 3.5 = 15\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phân tích các số \(50,\,\,150,\,\,200\) ra thừa số nguyên tố rồi tìm ước chung lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(50 = {2.5^2}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,150 = {2.3.5^2}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,200 = {2^3}{.5^2}\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {50,\,\,150,\,\,200} \right) = {2.5^2} = 50\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

-  Áp dụng tìm \(UCLN\) của \(2\)  hay nhiều số bằng cách:

+ Phân tích mỗi số đó ra thừa số nguyên tố.

+ Tìm các thừa số nguyên tố chung

+ Lập tích của các thừa số nguyên tố vừa tìm đươc, với số mũ nhỏ nhất của nó.

Tích đó chính là \(UCLN\)

- Sau khi tìm được \(UCLN\), ta áp dụng \(UCLN(a,b)=m.n\Rightarrow UC(a,b)=U(m.n)\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(a={{m}^{2}}.{{n}^{{}}};b=m.{{n}^{2}}\)

Vậy \(UCLN(a,b)=m.n\Rightarrow UC(a,b)=U(m.n)\).

Vậy số lượng ước chung của \(2\)  số \(a\) và \(b\) là số lượng ước của số \(m.n\)

Ta có số lượng \(U(m.n)\) là \((1+1).(1+1)=4\)(áp dụng kiến thức của bài ước số)

Chọn D

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm UCLN: phân tích các số ra thừa số nguyên tố, chọn các thừa số chung. Mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất, tích của các số đó là UCLN

Lời giải chi tiết:

\(36 = {2^2}{.3^2};60 = {2^2}.3.5;72 = {2^3}{.3^2}\)

Ta số thừa số chung là \(2;3\)

Số mũ nhỏ nhất của \(2\) là \(2\); số mũ nhỏ nhất của \(3\)  là \(1\)

Vậy \(UCLN\left( {36;60;72} \right) = {2^2}.3\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Gọi x là số tổ được chia. Từ đề bài ta có \(120\,\, \vdots \,\,x\,;\,\,112\,\, \vdots \,\,x\) và x là lớn nhất nên x = ƯCLN(120; 112)

Tìm ƯCLN(120; 112) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố, sau đó số bạn nam, số bạn nữ của mỗi tổ.

Lời giải chi tiết:

Gọi x là số tổ được chia \(\left( {x \in {N^*}} \right).\) 

Vì số nam và số nữ được chia đều vào các tổ nên \(120\,\, \vdots \,\,x\,;\,\,112\,\, \vdots \,\,x\)

Lại có số tổ là là lớn nhất nên x = ƯCLN(120; 112).

Ta có: \(120 = {2^3}.3.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,112 = {2^4}.7\)

ƯCLN(120; 112) \( = \,\,{2^3} = 8\)

Vậy ta có thể chia thành nhiều nhất là 8 tổ.

Mỗi tổ có số bạn nam là: 120 : 8 = 15 (bạn)

Mỗi tổ có số bạn nữ là:  112: 8 =14 (bạn)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Gọi số nhóm được chia là \(x\,\,(x > 0)\).

Theo đề bài ta phải có \(18\,\, \vdots \,\,x\,\,;\,\,\,\,24\,\, \vdots \,\,x\,\,\)và \(x\) là lớn nhất. Do đó \(x\) là ƯCLN \(\left( {18;{\rm{ }}24} \right).\)

Tìm ƯCLN \(\left( {18;{\rm{ }}24} \right)\) bằng cách phân tích các số \(18\,\,;\,\,24\) ra thừa số nguyên tố sau đó chọn ta các thừa số nguyên tố chung.  UCLN bằng tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của số đó.

 Số nhóm nhiều nhất có thể chia được chính là ƯCLN \((18\,\,;\,\,24)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi số nhóm được chia là \(x\,\,(x > 0)\).

Theo đề bài ta phải có \(18\,\, \vdots \,\,x\,\,;\,\,\,\,24\,\, \vdots \,\,x\,\,\)và \(x\) là lớn nhất. Do đó \(x\) là ƯCLN \(\left( {18;{\rm{ }}24} \right).\)

Ta có: \(18 = {2.3^2}\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,24 = {2^3}.3\).

ƯCLN\((18;\,\,24) = 2.3\,\, = \,\,6\).

Do đó \(x = 6\).

Vậy ta chia được nhiều nhất là \(6\) nhóm.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn. Tính phần quà có thể chia nhiều nhất. Sau đó tính được mỗi phần quà có số lượng nao nhiêu quyển vở, thước và bút.

Lời giải chi tiết:

Gọi a (phần) là số phần quà nhiều nhất mà lớn 6A có thể chia được \(\left( {a \in {N^*}} \right)\)

Theo đề bài ta có :

\(a \in UC\left( {126;70;56} \right)\) và \(a\) là nhiều nhất

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = UCLN\left( {126;70;56} \right) = 2.7 = 14\\ \Rightarrow a = 14\end{array}\)

Vậy, lớp 6A có thể chia nhiều nhất thành 14 phần quà.

Khi đó, mỗi phần quà có :

\(126:14 = 9\) (quyển vở)

\(70:14 = 5\) (cái thước)

\(56:14 = 4\) (cái bút)

Chọn B

Phương pháp giải:

Dễ dàng nhận thấy \(x\) là số chia nên \(x\) là ước chung của các số đó. Đồng thời, \(x\) lớn nhất nên \(x\) là ước chung lớn nhất.

\( \Rightarrow \)Bài toán về dạng tìm ước chung lớn nhất của các số.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra, ta có:

\(\left. \begin{array}{l}125:x\\100:x\\150:x\end{array} \right\} \Rightarrow x \in UC\left( {100;125;150} \right)\)

Mà \(x\) lớn nhất \( \Rightarrow x = UCLN\left( {100;125;150} \right)\)

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

\(\begin{array}{l}125 = {5^3}\\100 = {2^2}{.5^2}\\150 = {2.3.5^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow x = UCLN\left( {100;125;150} \right) = {5^2} = 25\)

Vậy \(x = 25\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dạng bài:  Tìm hai số khi biết tích và ước chung lớn nhất của hai số đó.

+) Áp dụng công thức \(UCLN\left( {a;b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = dm\\b = dn\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {m;n} \right) = 1,\,\,\,\left( {m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

+) Thay ngược vào tích \(a.b\) để tìm giá trị của \(m\) và \(n\).

Lời giải chi tiết:

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là \(a\) và \(b\).

Theo bài ra ta có: \(a.b = 720\) và  \(UCLN\left( {a,b} \right) = 6\).

Từ \(UCLN\left( {a,b} \right) = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6.m\\b = 6.n\end{array} \right.    \left( {m,n} \right) = 1,\,\,\left( {m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Thay \(a = 6.m\); \(b = 6.n\) vào \(a.b = 720\) ta có: \(6.m.6.n = 720 \Rightarrow m.n = 20\)

Mà \(\left( {m,n} \right) = 1\) nên ta có các trường hợp sau:

+) Với \(m = 4\), \(n = 5\)\( \Rightarrow a = 24{;^{}}b = 30\)

+) Với \(m = 5{;^{}}n = 4 \Rightarrow a = 30{;^{}}b = 24\)

+) Với \(m = 1\), \(n = 20\)\( \Rightarrow a = 6{;^{}}b = 120\)

+) Với \(m = 20\), \(n = 1\)\( \Rightarrow a = 120{;^{}}b = 6\)

Vậy các cặp số \(\left( {a;b} \right)\) cần tìm là \(\left( {24;30} \right),\left( {30;24} \right),\left( {6;120} \right),\left( {120;6} \right).\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dạng bài: Tìm hai số khi biết tổng và ước chung lớn nhất của hai số đó.

+) \(UCLN\left( {a;b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = dm\\b = dn\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {m;n} \right) = 1,\,\,\,\left( {m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

+) Thay vào tổng \(a + b\) để xác định được giá trị \(m,n\) cần tìm.

+) Tìm được các cặp số \(\left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: \(UCLN\left( {a,b} \right) = 10 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10.m\\b = 10.n\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\left( {m,n} \right) = 1\)

Thay \(a = 10.m\) và \(b = 10.n\) vào \(a + b = 30\) ta được:

\(10.m + 10.n = 30 \Rightarrow 10.\left( {m + n} \right) = 30 \Rightarrow m + n = 3\)

Mà \(\left( {m,n} \right) = 1\) nên ta có:

+) Với \(m = 1{,^{}}n = 2 \Rightarrow a = 10{,^{}}b = 20\)

+) Với \(m = 2{,^{}}n = 1 \Rightarrow a = 20{,^{}}b = 10\)

Vậy cặp số \(\left( {a;b} \right)\) cần tìm là \(\left( {10;20} \right);_{}^{}\left( {20;10} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi \(x\) là số bó hoa kết được. \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Từ đề bài ta có \(90\,\, \vdots \,\,x\,\,;\,\,40\,\, \vdots \,\,x\) và \(x\)  là lớn nhất nên \(x = UCLN\left( {90\,;\,\,40} \right)\)

Tìm \(UCLN\left( {90\,;\,\,40} \right)\) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(x\) là số bó hoa kết được.  \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Vì số hoa hồng trong từng bó đều bằng nhau và số hoa cúc trong từng bó đều bằng nhau nên \(90\,\, \vdots \,\,x\,\,;\,\,40\,\, \vdots \,\,x\) .

Lại có số bó hoa là là nhiều nhất nên \(x = UCLN\left( {90\,;\,\,40} \right)\).

Ta có: \(90 = {2.3^2}.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,40 = {2^3}.5\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {90\,;\,\,40} \right) = 2.5 = 10\)

Do đó \(x = 10\).

Vậy ta có thể kết được nhiều nhất là \(10\) bó hoa.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng dấu hiệu chia hết của một hiệu và tính chất của ước chung lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Vì \(a\vdots b\) nên \(a=n.b\left( n>1 \right)\Rightarrow a-b=n.b-b=\left( n-1 \right).b\vdots b\).

Do đó \(\left( a-b \right)\vdots b\).

Vậy \(UCLN\left( a-b,b \right)=b\).

 Chọn D

Phương pháp giải:

Gọi d là ước chung lớn nhất của 5n+3; 6n + 1, suy ra 5n+3 và 6n + 1 cùng chia hết cho d.

Ta sẽ giản ước n bằng cách nhân 5n+3 với 6 và nhân 6n + 1 với 5.

Suy ra (30n + 18) – (30n + 5) chia hết cho d. Từ đó ta tìm được d.

Lời giải chi tiết:

Gọi ƯCLN (a; b) = ƯCLN (5n+3; 6n + 1) = d.

Ta có:

5n + 3 chia hết cho d nên 6.(5n + 3) = 30n + 18 chia hết cho d.

6n + 1 chia hết cho d nên 5.(6n + 1) = 30n + 5 chia hết cho d.

\( \Rightarrow \) (30n + 18) – (30n + 5) chia hết cho d

\( \Rightarrow \) 13 chia hết cho d

\( \Rightarrow d \in \) Ư(13)

\( \Rightarrow d \in {\rm{\{ }} - {\rm{13;}}\, - {\rm{1 ; 1; 13\} }}\)

Mà 5n + 3 và 6n + 1 không nguyên tố cùng nhau và \(n \in N\) nên suy ra d = 13.

Vậy ước chung lớn nhất của 5n + 3 và 6n + 1 là 13.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Xác định \(d\)  là ước chung của các số cho trước.

+) Ra kết quả \(d \ne 1\), thay ngược lại để tìm \(n\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung của\(7n + 13\) và \(2n + 4\)\(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}7n + 13 \vdots d\\2n + 4 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {7n + 13} \right) \vdots d\\7\left( {2n + 4} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}14n + 26 \vdots d\\14n + 28 \vdots d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {14n + 28} \right) - \left( {14n + 26} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 14n + 28 - 14n - 26 \vdots d\\ \Rightarrow 2 \vdots d\\ \Rightarrow d \in \left\{ {1;2} \right\}\end{array}\)

+) Với \(d = 2\) ta có \(7n + 13 \vdots 2 \Rightarrow 7\left( {n + 1} \right) + 6 \vdots 2\). Mà \(6 \vdots 2 \Rightarrow 7\left( {n + 1} \right) \vdots 2\).

Mặt khác, \(\left( {2;7} \right) = 1\) suy ra \(\left( {n + 1} \right) \vdots 2\)\( \Rightarrow n = 2k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Thử lại, với \(n = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}7\left( {2k + 1} \right) + 13 = 7.2k + 7 + 13 = 7.2k + 20\\7.2k\,\, \vdots \,\,2\\20\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right. \Rightarrow 7n + 13\,\, \vdots \,\,2\)

Kết luận:

+) Với \(n = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 2\).

+) Với \(n \ne 2k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)thì \(UCLN\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 1\).

Chọn D.