Phương pháp giải:

- Thực hiện phép chia đơn thức, 2 đơn thức chia hết cho nhau khi lũy thừa của từng biến trong đơn thức thứ nhất chia hết cho lũy thừa cùng biến trong đơn thức thứ hai.

- Khi đó, số mũ của lũy thừa của từng biến trong đơn thức thứ nhất lớn hơn hoặc bằng số mũ của lũy thừa cùng biến trong đơn thức thứ hai. Ta so sánh để rút ra giá trị n cần tìm

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(B:C=\left( 4{{x}^{4}}{{y}^{4}} \right):\left( {{x}^{n-1}}{{y}^{4}} \right)\)

Đơn thức B chia hết cho đơn thức C khi: \(4\ge n-1\)

\(\Rightarrow n\le 5\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \({A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\).

Sau đó, thực hiện phép chia đơn thức chia đơn thức khi coi \(x - 1\) là biến.

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right):\left( {x - 1} \right)\) \( = {\left( {x - 1} \right)^3}:\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Lời giải chi tiết:

Để \(A = 16{x^3}{y^{n + 1}}\) chia hết cho \(B = 8{x^{n + 2}}{y^2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}n \in \mathbb{N}*\\n + 2 \le 3\\n + 1 \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \in \mathbb{N}*\\n \le 1\\n \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 1\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chia đơn thức cho đơn thức: lấy hệ số chia hệ số; lấy lũy thừa từng biến chia cho lũy thừa của biến tương ứng; nhân các kết quả.

Sau đó thay \(x = 2;y = 5;z = 2020\) vào \(A\) và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(A = 16{x^4}{y^3}{z^2}:\left( { - 8{x^3}{y^2}{z^2}} \right)\)\( = \left[ {16:\left( { - 8} \right)} \right]{x^{4 - 3}}.{y^{3 - 2}}.{z^{2 - 2}} =  - 2xy\)

Thay \(x = 2;y = 5;z = 2020\) vào \(A\)\( \Rightarrow A =  - 2.2.5 =  - 20.\)

Vậy \(A =  - 20\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A

Lời giải chi tiết:

Để \(15{x^{n + 2}}{y^8}\) chia hết cho \(8{x^4}{y^n}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}n + 2 \ge 4\\8 \ge n\\n \in \mathbb{N}*\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 2\\n \le 8\\n \in \mathbb{N}*\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 \le n \le 8\\n \in \mathbb{N}*\end{array} \right.\)\( \Rightarrow n \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8} \right\}\)

Vậy \(n \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8} \right\}\) thì \(15{x^{n + 2}}{y^8}\) chia hết cho \(8{x^4}{y^n}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Kết hợp nhuần nhuyễn các phép tính nhân, chia, cộng, trừ các đơn thức và đa thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,D = \left( {9{x^2}{y^2} - 6{x^2}{y^3}} \right):{\left( { - 3xy} \right)^2} + \left( {6{x^2}y + 2{x^4}} \right):\left( {2{x^2}} \right)\\\Leftrightarrow D = 9{x^2}{y^2}:{\left( { - 3xy} \right)^2} - 6{x^2}{y^3}:{\left( { - 3xy} \right)^2} + 6{x^2}y:\left( {2{x^2}} \right) + 2{x^4}:\left( {2{x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow D = 9{x^2}{y^2}:\left( {9{x^2}{y^2}} \right) - 6{x^2}{y^3}:\left( {9{x^2}{y^2}} \right) + 6{x^2}y:\left( {2{x^2}} \right) + 2{x^4}:\left( {2{x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow D = 1 - \frac{2}{3}y + 3y + {x^2}\\ \Leftrightarrow D = {x^2} + \frac{7}{3}y + 1\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức.

- So sánh số mũ của các lũy thừa cùng biến trong phép chia đơn chức cho đơn thức để tìm ra giá trị n.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A:B=\left( 7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}}-5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{n}} \right)=\left( 7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{4}} \right)-\left( 5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{n}} \right)\)

Đa thức A chia hết cho đơn thức B khi \(\left\{ \begin{array}{l}n - 1 \ge 2\\4 \ge n\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\n \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\\n = 4\end{array} \right..\)

Chọn B

Phương pháp giải:

- Chia đơn thức cho đơn thức tuân theo quy tắc \({{x}^{m}}:{{x}^{n}}={{x}^{m-n}}\ (m>n)\)

Chú ý: Nếu m = n thì \({{x}^{m}}:{{x}^{n}}=1\).

- Biểu thức thu được không âm khi biến có số mũ chẵn và hệ số không âm.

Lời giải chi tiết:

\(C=\left(-15{{x}^{3}}{{y}^{6}}\right):\left(-5x{{y}^{2}}\right)=3{{x}^{2}}{{y}^{4}}=3{{\left( x{{y}^{2}} \right)}^{2}}\)

Vì \({{\left( x{{y}^{2}} \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi x và y nên \(C\ge 0\) với mọi x và y.

Vậy biểu thức C không âm với mọi giá trị biến x và y.

Phương pháp giải:

 Kết hợp nhuần nhuyễn các phép tính nhân, chia, cộng, trừ các đơn thức và đa thức để rút gọn biểu thức.

- Thay giá trị của biến vào kết quả vừa thu được để tìm được giá trị của biểu thức

Lời giải chi tiết:

Tại \(x=\frac{2}{3}\) và \(y=1\) ta có:

 \(D=\frac{5}{2}.\frac{2}{3}+3.\frac{2}{3}.1+\frac{8}{3}-{{7.1}^{2}}=\frac{5}{3}+2+\frac{8}{3}-7=\frac{13}{3}-5=-\frac{2}{3}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Sử dụng phối hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi biểu thức thành tích các đa thức và đơn thức, biểu thức sẽ chia hết cho các đa thức và đơn thức trong tích thu được.

- Nếu đa thức hoặc đơn thức trong tích thu được giống với yêu cầu của đề bài thì suy ra biểu thức đó chia hết cho giá trị đã cho.

Lời giải chi tiết:

\(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23 = {13^n}.\left( {{{13}^2} - 23} \right) = {13^n}.\left( {169 - 23} \right) = {13^n}.146\)

Vậy biểu thức C chia hết cho146.

Ở đáp án A, nếu n = 0 thì C = 146 không chia hết cho 13.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng qui tắc chia đa thức cho đa thức, nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left( {12{x^6}{y^4} + 9{x^5}{y^3} - 15{x^2}{y^3}} \right):3{x^2}{y^3}\\ = \left( {12{{\rm{x}}^6}{y^4}:3{{\rm{x}}^2}{y^3}} \right) + \left( {9{x^5}{y^3}:3{x^2}{y^3}} \right) - \left( {15{x^2}{y^3}:3{x^2}{y^3}} \right)\\ = 4{x^4}y + 3{x^3} - 5\end{array}\)          \(\begin{array}{l}b)\,\,\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {1 - x} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\\ = {x^2} - {x^3} - 2 + 2x + {x^3} - 3{x^2} + 9x + 3{x^2} - 9x + 27\\ = {x^2} + 2x + 25\end{array}\)                                       

Chọn B.

Phương pháp giải:

Biến đổi đa thức P để xuất hiện tổng: \({a^2} - 5a + 2 = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = {a^5} - {a^4} - 18{a^3} + 9{a^2} - 5a + 2017 + \left( {{a^4} - 40{a^2} + 4} \right):{a^2}\\\;\;\; = \left( {{a^5} - 5{a^4} + 2{a^3}} \right) + \left( {4{a^4} - 20{a^3} + 8{a^2}} \right) + \left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 2015 + \frac{{{a^4} - 40{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\\\;\;\; = {a^3}\left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 4{a^2}\left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 2015 + \frac{{{a^4} - 40{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\\\;\;\; = 2015 + \frac{{{a^4} - 40{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\\\;\;\; = \frac{{{a^4} + 1975{a^2} + 4}}{4}.\end{array}\)

Theo đề bài ta có: \({a^2} - 5a =  - 2 \Rightarrow {\left( {{a^2} - 5a} \right)^2} = 4 \Rightarrow {a^4} - 10{a^3} + 25{a^2} = 4\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{{a^4} + 1975{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\\\;\;\; = \frac{{\left( {{a^4} - 10{{\rm{a}}^3} + 25{{\rm{a}}^2}} \right) + \left( {10{a^3} - 50{a^2} + 20a} \right) + \left( {4{a^2} - 20a + 8} \right) + 1996{a^2} - 4}}{{{a^2}}}\\\;\;\; = \frac{{4 + 10a\left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 4\left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 1996{a^2} - 4}}{{{a^2}}} = 1996\end{array}\)

Vậy \(P = 1996.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phân tích đa thức \({x^3} - {x^2} - 5x - 3\) thành nhân tử bằng cách tách hạng tử để tạo nhân tử \(x - 3;\,\,{\left( {x + 1} \right)^2}\)

Sau đó, thực hiện phép chia đơn thức với 2 biến \(x - 3;\,\,x + 1\) cho biến \(x + 1\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^3} - {x^2} - 5x - 3} \right):{\left( {x + 1} \right)^2}\\ = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2{x^2} - 6x + x - 3} \right):{\left( {x + 1} \right)^2}\\ = \left[ {{x^2}\left( {x - 3} \right) + 2x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right)} \right]:{\left( {x + 1} \right)^2}\\ = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 1} \right):{\left( {x + 1} \right)^2}\\ = \left( {x - 3} \right){\left( {x + 1} \right)^2}:{\left( {x + 1} \right)^2}\\ = x - 3\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Kết hợp nhuần nhuyễn các phép tính nhân, chia, cộng, trừ các đơn thức và đa thức để rút gọn biểu thức.

- Thay giá trị của biến vào kết quả vừa thu được để tìm được giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\,E=\frac{2}{3}{{x}^{2}}{{y}^{3}}:\left( \frac{-1}{3}xy \right)+\frac{2x\left( y-1 \right){{\left( y+1 \right)}^{2}}}{\left( y+1 \right)} \\  & \Leftrightarrow E=-2x{{y}^{2}}+2x\left( y-1 \right)\left( y+1 \right) \\ & \Leftrightarrow E=-2x{{y}^{2}}+2x\left( {{y}^{2}}-1 \right) \\ & \Leftrightarrow E=-2x{{y}^{2}}+2x{{y}^{2}}-2x \\  & \Leftrightarrow E=-2x. \\ \end{align}\)

Vậy giá trị của biểu thức E không phụ thuộc vào biến y (đpcm).