10 bài tập tổng hợp về Tính chất cơ bản của phân thứcLàm bàiCâu hỏi 1 : Chọn câu sai:
Đáp án: C Phương pháp giải: Phương pháp: Sử dụng tính chất \(2\) phân thức bằng nhau: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc\). Lời giải chi tiết: Cách giải: \(\frac{-3y}{24x}=\frac{-2y}{-16xy}\Leftrightarrow \left( -3y \right).\left( -16xy \right)=\left( -2y \right).24x\) (vô lý) Chọn C.
Câu hỏi 2 : Phân thức \(\frac{5x-7}{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}}\) xác định khi:
Đáp án: C Phương pháp giải: Phương pháp: - Tìm ĐKXĐ của phân thức: Mẫu thức khác \(0\). - Giải và tìm đáp án. Lời giải chi tiết: Cách giải: ĐK: \({{x}^{3}}-4{{x}^{2}}\ne 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}(x-4)\ne 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x\ne 0 \\ & x\ne 4 \\\end{align} \right.\) Chọn C.
Câu hỏi 3 : Giá trị của phân thức: \(\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}}\) không xác định tại các giá trị của biến \(x\) là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Phân thức được xác định khi và chỉ khi mẫu khác 0. Lời giải chi tiết: Phân thức \(\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}}\) được xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm 2\) Vậy phân thức không xác định tại \(x = \pm 2\). Chọn C Câu hỏi 4 : Chọn đáp án đúng:
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Áp dụng lý thuyết, chọn C. Câu hỏi 5 : Chọn đáp án không đúng:
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: +) Đáp án A: \(\frac{x-3}{{{x}^{2}}-9}=\frac{x-3}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{1}{x+3}\Rightarrow \) A đúng. +) Đáp án B: \(\frac{5x+5}{5x}=\frac{5\left( x+1 \right)}{5x}=\frac{x+1}{x}\Rightarrow \) B đúng. +) Đáp án C: \(\frac{{{x}^{2}}-6x+9}{9-{{x}^{2}}}=\frac{{{\left( 3-x \right)}^{2}}}{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)}=\frac{3-x}{x+3}\Rightarrow \) C đúng. +) Đáp án D: \(\frac{x({{x}^{2}}-4)}{2-x}=\frac{x(x-2)(x+2)}{-(x-2)}=-x(x+2)\Rightarrow \) D sai. Chọn D. Câu hỏi 6 : Đa thức P trong đẳng thức \(\frac{5{{(y-x)}^{2}}}{5{{x}^{2}}-5xy}=\frac{x-y}{P}\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Ta có: \(\frac{5{{(y-x)}^{2}}}{5{{x}^{2}}-5xy}=\frac{5{{(x-y)}^{2}}}{5x(x-y)}=\frac{x-y}{x}\Rightarrow \frac{x-y}{x}=\frac{x-y}{P}\Rightarrow P=x.\) Chọn D. Câu hỏi 7 : Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng minh các đẳng thức sau: a) \(\frac{{{x}^{2}}(2x-1)}{x{{(2x-1)}^{2}}}=\frac{x}{2x-1}\) b) \(\frac{4-x}{x+4}=\frac{{{x}^{2}}-8x+16}{16-{{x}^{2}}}\) c) \(\frac{{{x}^{3}}-9x}{15-5x}=\frac{-x(x+3)}{5}\) Phương pháp giải: Lời giải chi tiết:
Hướng dẫn giải chi tiết a) \(\frac{{{x}^{2}}(2x-1)}{x{{(2x-1)}^{2}}}=\frac{x}{2x-1}\) Ta có: \(\begin{align} & {{x}^{2}}(2x-1)(2x-1)={{x}^{2}}{{(2x-1)}^{2}} \\ & x{{(2x-1)}^{2}}.x={{x}^{2}}{{(2x-1)}^{2}} \\\end{align}\) \(\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}(2x-1)}{x{{(2x-1)}^{2}}}=\frac{x}{2x-1}\) đúng. b) \(\frac{4-x}{x+4}=\frac{{{x}^{2}}-8x+16}{16-{{x}^{2}}}\) Ta có: \(\begin{align}& (4-x)(16-{{x}^{2}})=(4-x)(4-x)(4+x)=(x+4){{(x-4)}^{2}} \\ & (x+4)({{x}^{2}}-8x+16)=(x+4){{(x-4)}^{2}} \\\end{align}\) \(\Rightarrow \frac{4-x}{x+4}=\frac{{{x}^{2}}-8x+16}{16-{{x}^{2}}}\) đúng. c) \(\frac{{{x}^{3}}-9x}{15-5x}=\frac{-x(x+3)}{5}\) Ta có: \(\begin{align} & 5({{x}^{3}}-9x)=5x({{x}^{2}}-9)=5x(x+3)(x-3) \\ & -x(x+3)(15-5x)=-5x(x+3)(3-x)=5x(x+3)(x-3) \\\end{align}\) \(\Rightarrow \frac{{{x}^{3}}-9x}{15-5x}=\frac{-x(x+3)}{5}\) đúng.
Câu hỏi 8 : Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau: a) \(\frac{{{x}^{2}}-4x-5}{A}=\frac{5-x}{x}\) b) \(\frac{5{{x}^{2}}-13x+6}{A}=\frac{5x-3}{2x+5}\)
Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(\begin{align} & a)\,\,\frac{{{x}^{2}}-4x-5}{A}=\frac{5-x}{x} \\ & \Rightarrow A(5-x)=x({{x}^{2}}-4x-5) \\& \Rightarrow A=x({{x}^{2}}-4x-5):(5-x) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=x({{x}^{2}}+x-5x-5):(5-x) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=x\left( x\left( x+1 \right)-5\left( x+1 \right) \right):(5-x) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=x(x+1)(x-5):(5-x) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-x(x+1)(5-x):(5-x) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-x(x+1) \\\end{align}\) Vậy \(A=-x\left( x+1 \right).\) \(b)\,\,\frac{5{{x}^{2}}-13x+6}{A}=\frac{5x-3}{2x+5}\) Cách 1: \(\begin{align} & \Rightarrow A(5x-3)=(5{{x}^{2}}-13x+6)(2x+5) \\ & \Rightarrow A=(5{{x}^{2}}-13x+6)(2x+5):(5x-3) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=(10{{x}^{3}}+25{{x}^{2}}-26{{x}^{2}}-65x+12x+30):(5x-3) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=(10{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-53x+30):(5x-3) \\\end{align}\) \(\begin{align} & 10{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-53x+30\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5x-3 \\ & 10{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2{{x}^{2}}+x-10 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5{{x}^{2}}-53x+30\, \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5{{x}^{2}}-3x \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-50x+30 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-50x+30 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \\\end{align}\) Cách 2: \(\begin{align} & A=\left( 5{{x}^{2}}-13x+6 \right)\left( 2x+5 \right):\left( 5x-3 \right) \\ & \,\,\,\,\,=\left( 5{{x}^{2}}-10x-3x+6 \right)\left( 2x+5 \right):\left( 5x-3 \right) \\ & \,\,\,\,\,=\left( 5x\left( x-2 \right)-3\left( x-2 \right) \right)\left( 2x+5 \right):\left( 5x-3 \right) \\ & \,\,\,\,\,=\left( 5x-3 \right)\left( x-2 \right):\left( 5x-3 \right) \\ & \,\,\,\,\,=\left( x-2 \right)\left( 2x+5 \right) \\ & \,\,\,\,\,=2{{x}^{2}}+5x-4x-10 \\ & \,\,\,\,\,=2{{x}^{2}}+x-10. \\\end{align}\) Vậy \(A=2{{x}^{2}}+x-10\).
Câu hỏi 9 : Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy tìm các đa thức trong mỗi đẳng thức sau: a) \(\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{4-{{x}^{2}}}=\frac{2-x}{A}\) b) \(\frac{-{{x}^{2}}+6xy-9{{y}^{2}}}{x+3y}=\frac{B}{{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}}\) c) \(\frac{{{x}^{2}}+x-6}{({{x}^{2}}-2x)(x+2)}=\frac{x+3}{C}\)
Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(\begin{align}& a)\,\,\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{4-{{x}^{2}}}=\frac{2-x}{A} \\ & \frac{{{x}^{2}}-4x+4}{4-{{x}^{2}}}=\frac{{{(x-2)}^{2}}}{(2-x)(2+x)}=\frac{{{(2-x)}^{2}}}{(2-x)(x+2)}=\frac{2-x}{x+2} \\ & \Rightarrow \frac{2-x}{x+2}=\frac{2-x}{A} \\\end{align}\) Vậy \(A=x+2\). \(\begin{align} & b)\,\,\frac{-{{x}^{2}}+6xy-9{{y}^{2}}}{x+3y}=\frac{B}{{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}} \\ & \frac{-{{x}^{2}}+6xy-9{{y}^{2}}}{x+3y}=\frac{-({{x}^{2}}-6xy+9{{y}^{2}})}{x+3y}=\frac{-{{(x-3y)}^{2}}}{x+3y}=\frac{-{{(x-3y)}^{2}}.(x-3y)}{(x+3y)(x-3y)}=\frac{-{{(x-3y)}^{3}}}{{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}} \\ & \Rightarrow \frac{-{{(x-3y)}^{3}}}{{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}}=\frac{B}{{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}} \\\end{align}\) Vậy \(B=-{{(x-3y)}^{3}}\). \(\begin{align} & c)\,\,\frac{{{x}^{2}}+x-6}{({{x}^{2}}-2x)(x+2)}=\frac{x+3}{C} \\ & \frac{{{x}^{2}}+x-6}{({{x}^{2}}-2x)(x+2)}=\frac{{{x}^{2}}+3x-2x-6}{x(x-2)(x+2)}=\frac{x(x+3)-2(x+3)}{x(x-2)(x+2)}=\frac{(x-2)(x+3)}{x(x-2)(x+2)}=\frac{x+3}{x(x+2)} \\ & \Rightarrow \frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{x+3}{C} \\\end{align}\) Vậy \(C=x(x+2)\).
Câu hỏi 10 : Cho \(4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5ab\) và \(2a>b>0\). Tính giá trị biểu thức: \(M=\frac{ab}{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\) .
Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết Ta có: \(\begin{align} & 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5ab\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-5ab+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-4ab-ab+{{b}^{2}}=0 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow 4a(a-b)-b(a-b)=0\Leftrightarrow (a-b)(4a-b)=0 \\ & Do\,\,\,2a>b>0\Rightarrow 4a>b\Rightarrow 4a-b>0. \\ & \Rightarrow a-b=0\Leftrightarrow a=b. \\\end{align}\) Vậy \(M=\frac{ab}{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\frac{a.a}{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}}=\frac{1}{3}\).
|
