Phương pháp giải:

Áp dụng tích chất của tam giác vuông cân và định lý Py-ta-go.

Lời giải chi tiết:

Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\), có \(A{\rm{D}}\) là đường trung tuyến, \(A{\rm{D}} = \sqrt 2 \,cm\).

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\), có \(A{\rm{D}}\) là đường trung tuyến (gt)

\( \Rightarrow BC = 2{\rm{AD}} = 2\sqrt 2 \,cm\) (trong tam giác vuông đường trung

tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Áp dụng định lý Py-ta-go có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow 2{\rm{A}}{B^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}:2 = 4\, \Rightarrow AB = AC = 2\,cm.\end{array}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật:

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

+) HÌnh bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Các đáp án A, B, D đều cho ta ABCD là hình chữ nhật. Chỉ có đáp án C nếu ABCD có thêm điều kiện AB = CD = AD = BC thì ABCD là hình thoi.

Chọn C

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Lời giải chi tiết:

Theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật thì để hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi hai đường chéo bằng nhau hay AC = BD.

Chọn B

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai cạnh song song và bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABD có: Q là trung điểm của AD, N là trung điểm của AB nên QN là đường trung bình của tam giác ABD.  Do đó QN // BD và QN = BD:2 (1)

Tương tự ta cũng chứng minh được PM là đường trung bình của tam giác CBD nên PM // BD và PM = BD:2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra QN//PM, QN = PM. Do đó NMPQ là hình bình hành.

Chọn C

Phương pháp giải:

+ Chứng minh AECH là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

+ Chứng minh hình bình hành AECH là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Xét tứ giác AECH có: I là trung điểm của AC(gt); I là trung điểm của HE (do H và E đối xứng nhau qua I)

Do đó AECH là hình bình hành. (dấu hiệu nhận biết)

Lại có \(\widehat {AHC} = {90^ \circ }\) , nên AECH là hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

+ Áp dụng định lý pitago để tính độ dài cạnh huyền.

+ Sử dụng tính chất trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền để tính độ dài đường trung tuyến.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:\(B{C^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}A{C^2} + {\rm{ }}A{B^2}\)

Hay \(B{C^2} = {\rm{ }}{6^2} + {\rm{ }}{8^2}\)\(B{C^2} = {\rm{ }}100\).

Suy ra BC = 10(cm)Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AH = BC : 2 = 10: 2 = 5 (cm)

Phương pháp giải:

+ Trước hết ta chứng minh ADME là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

+ Chứng minh tam giác BDM  vuông cân tại D để suy ra BD = DM.

+ Tính chu vi ADME thông  độ dài cạnh tam giác vuông cân.

Lời giải chi tiết:

Xét tứ giác ADME có \(\widehat A = \widehat E = \widehat D = {90^ \circ }\) nên ADME là hình chữ nhật.

Xét tam giác DMB có \(\widehat B = {45^ \circ }\) (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác BDM vuông cân tại D. Do đó DM = BD.Do ADME là hình chữ nhật nên chu vi ADME là: (AD + DM).2= (AD+BD).2=6.2=12(cm)Vậy chu vi ADME là 12cm

Phương pháp giải:

a) Ta chứng minh QPNM là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh QN//AB//CD ta chứng minh DQNF là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có cặp cạnh đối sonh song và bằng nhau là hình bình hành, lập luận để suy ra QN // AB // CD, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

+ Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật thông qua cạnh DF của hình bình hành DQNF (do QN = DF).

Lời giải chi tiết:

a) \(AQ \bot DQ\) (phân giác hai góc kề bù A và D). Suy ra \(\widehat {MPQ} = {90^ \circ }\)

Tương tự :\(\widehat {NMQ} = \widehat {MNP} = {90^0}\)

Xét tứ giác MNPQ có \(\widehat {MQP} = \widehat {NMQ} = \widehat {MNP} = {90^0}\), do đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

b) Ta chứng minh NQ song song với AB và CD.

Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD.

Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A, suy ra DQ = QE = DE:2

Tương tự tam giác BCF cân tại C, do đó FN = BN = BF : 2.

Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra DE = BF.

Suy ra DQ = FN và DQ // FN. Vậy DQNF là hình bình hành, từ đó:QN//DF hay QN // AB // CD.Ta có: QN = DF = CD – CF

Mà CD = AB = a, CF = CB = b, do đó: QN = a – b.

Vậy độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng hiệu hai cạnh hình bình hành.

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh M, L, I, K thẳng hàng ta lần lượt chứng minh ML, IK thuộc đường trung bình MI của hình thang ABCD.

+ Để chứng minh ABKL là hình chữ nhật ta chứng minh ABKL là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Sau đó chỉ ra hai đường chéo hình bình hành bằng nhau để chứng minh ABKL là hình chữ nhật.

b) + Đầu tiên ta áp dụng định lý pitago cho tam giác vuông AML để tìm AL

+ Áp dụng định lý pitago cho tam giác vuông AKL để tìm AK.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác ABD có :

M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra ML // AB và ML = AB : 2 = 3.

Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (1)

Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IK // AB và IK = AB : 2 = 3.

Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.

Ta có \(MI = {1 \over 2}\left( {AB + CD} \right) = {1 \over 2}\left( {6 + 18} \right) = 12\) (do MI là đường trung bình của hình thang ABCD)

Suy ra KL = MI – ML – KI = 12 – 3 – 3 = 6.

Xét tứ giác ABKL có: KL = AB(=6); KL//AB.

Do đó ABKL là hình bình hành.

Lại có \(BL = {1 \over 2}BD,AK = {1 \over 2}AC\)Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân)Suy ra AK = BL.

Xét hình bình hành ABKL có AK = KL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật.

b) Theo trên ta có AB = KL = 6.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AML ta có: \(A{L^2} = A{M^2} - M{L^2} = {5^2} - {3^2} = 16\)

Vậy AL = BK =4.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AKL ta có:

\(A{K^2} = A{L^2} + L{K^2} = {4^2} + {6^2} = 16 + 36 = 52\)

Vậy \(AK = {\rm{ }}BL{\rm{ }} = \sqrt {52} \)

Phương pháp giải:

+ Gọi thêm các điểm I, H, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng QM, QN, PN.

+ Ta tính chu vi tứ giác MNPQ:

Dễ thấy

\(\eqalign{& AI = {1 \over 2}QM,IH = {1 \over 2}MN,HK = {1 \over 2}PQ,KC = {1 \over 2}NP  \cr &  \Rightarrow AI + IH + HK + KC = {1 \over 2}(QM + MN + PQ + NP) = {1 \over 2}{P_{MNPQ}} \cr} \)

Mà \(AI + IH + HK + KC \ge AC\) , từ đó suy ra lời giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.

Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên suy ra \(AI = {1 \over 2}QM\)

IH là đường trung bình của tam giác QMN nên \(IH = {1 \over 2}MN\), IH // MN.

Tương tự \(KC = {1 \over 2}NP,HK = {1 \over 2}PQ\), HK // PQ.Do đó \(AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} = {1 \over 2}{P_{MNPQ}}\)

Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C ta có: \(AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} \ge AC\)Do đó \({P_{MNPQ}} \ge 2AC\) (không đổi)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hàng theo thứ tự đó.

Điều đó tương đương với MN//AC//QP, QM//BD//NP hay MNPQ là hình bình hành.

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ là 2AC.