Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ, áp dụng định nghĩa hai đường thẳng vuông góc, tính các góc có số đo bằng 90⁰.

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng aa’ và bb’ vuông góc với nhau tại O nên :

+) \(\widehat{aOb}={{90}^{0}}\)=> A đúng.

+) aa’ và bb’ vuông góc với nhau nên aa’ và bb’ cắt nhau => B sai.

+) \(\widehat{a'Ob}=\widehat{a'Ob'}={{90}^{0}}\)=> aa’ là đường phân giác của góc bẹt bOb’ => C đúng.

+) \(\widehat{b'Oa'}={{90}^{0}}\)=> D đúng.

Chọn B.

Phương pháp giải:

 Áp dụng định nghĩa hai đường thẳng vuông góc.

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa hai đường thẳng vuông góc, tính chất tia phân giác của một góc. Từ đó cộng góc tính số đo góc mOn.

Lời giải chi tiết:

Vì xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại O nên: \(\widehat{xOy}=\widehat{yOx'}={{90}^{0}}.\)

Vì Om là tia phân giác của góc xOy nên: \(\widehat{xOm}=\widehat{mOy}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}=\frac{1}{2}{{.90}^{0}}={{45}^{0}}.\)

Vì On là tia phân giác của góc yOx’ nên: \(\widehat{yOn}=\widehat{nOx'}=\frac{1}{2}\widehat{yOx'}=\frac{1}{2}{{.90}^{0}}={{45}^{0}}.\)

Vì Oy nằm giữa hai tiaOm và On nên:

\(\begin{align}  & \widehat{mOy}+\widehat{yOn}=\widehat{mOn} \\  & {{45}^{0}}+{{45}^{0}}=\widehat{mOn} \\  & {{90}^{0}}=\widehat{mOn} \\ \end{align}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc, tính chất tia phân giác của một góc, tính chất hai góc đối đỉnh để tính số đo góc x’On.

Lời giải chi tiết:

Vì xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại O nên:

\(\widehat{xOy}=\widehat{yOx'}={{90}^{0}}.\)

Vì Om là tia phân giác của góc xOy nên:

\(\widehat{xOm}=\widehat{mOy}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}=\frac{1}{2}{{.90}^{0}}={{45}^{0}}.\)

Vì On là tia đối của Om, Ox’ là tia đối của Ox nên

\(\widehat{x'On}=\widehat{xOm}={{45}^{0}}.\) (tính chất hai góc đối đỉnh).

Chọn C.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng tính chất tia nằm giữa hai tia còn lại, cộng góc, tính số đo góc AOD và BOC. Từ đó so sánh hai góc đó.

b)     Áp dụng tính chất tia nằm giữa hai tia còn lại, cộng góc, tính số đo góc COD.

c)     Áp dụng tính chất tia phân giác của một góc, chứng minh tia nằm giữa hai tia còn lại. Từ đó áp dụng công thức cộng góc, tính số đo góc AOM và BOM. Từ đó chứng minh OM là tia phân giác của góc AOB.

Lời giải chi tiết:

a)     Vì tia OD nằm giữa hai tia OA và OB

\(\begin{align}  & \Rightarrow \widehat{AOD}+\widehat{DOB}=\widehat{AOB} \\ & \Rightarrow \widehat{AOD}+{{90}^{0}}={{140}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{AOD}={{140}^{0}}-{{90}^{0}}={{50}^{0}}\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}\)

Vì tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

\(\begin{align}  & \Rightarrow \widehat{AOC}+\widehat{COB}=\widehat{AOB} \\& \Rightarrow {{90}^{0}}+\widehat{COB}={{140}^{0}} \\  & \Rightarrow \widehat{COB}={{140}^{0}}-{{90}^{0}}={{50}^{0}}\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{AOD}=\widehat{BOC}={{50}^{0}}\)

b)     Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có : \(\widehat{AOD}<\widehat{AOC}\,\,\left( {{50}^{0}}<{{90}^{0}} \right)\)

Suy ra tia OD nằm giữa hai tia OA và OC

\(\begin{align}  & \Rightarrow \widehat{AOD}+\widehat{COD}=\widehat{AOC} \\& \Rightarrow {{50}^{0}}+\widehat{COD}={{90}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{COD}={{90}^{0}}-{{50}^{0}}={{40}^{0}}\,\,\,\,\, \\ \end{align}\)

c)     Vì OM là tia phân giác của góc COD nên \(\widehat{COM}=\widehat{DOM}=\frac{\widehat{COD}}{2}=\frac{40}{2}={{20}^{0}}\)

OM là tia phân giác của góc COD nên OM nằm giữa hai tia OD và OC.

Mà tia OD nằm giữa hai tia OA và OC.

Suy ra OD nằm giữa hai tia OA và OM

\(\begin{align}  & \Rightarrow \widehat{AOD}+\widehat{DOM}=\widehat{AOM} \\  & \Rightarrow {{50}^{0}}+{{20}^{0}}=\widehat{AOM} \\  & \Rightarrow \widehat{AOM}={{70}^{0}}\,\,\,\,\, \\ \end{align}\)

Chứng minh tương tự ta có : \(\widehat{BOM}={{70}^{0}}\,\)

\(\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{BOM}={{70}^{0}}\,\)và tia OM nằm giữa hai tia OA và OB.

Vậy OM là tia phân giác của góc AOB.

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất góc vuông, tính chất cộng góc để tính số đo góc COD.

Lời giải chi tiết:

Vì OC nằm giữa tia OA và OB nên:

\(\begin{align}  & \widehat{AOC}+\widehat{COB}=\widehat{AOB} \\  & \widehat{AOC}+\widehat{COB}={{90}^{0}} \\ \end{align}\)

Mà \(\widehat{AOC}=\widehat{BOD}\Rightarrow \widehat{BOD}+\widehat{COB}={{90}^{0}}.\)

Lại có tia OB nằm giữa tia OC và OD nên

                                       \(\text{ }\widehat{BOD}+\widehat{COB}=\widehat{COD}.\)

Vậy \(\widehat{COD}={{90}^{0}}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất góc vuông, tính chất cộng góc để tính số đo \(\widehat{xOz}.\)  

Lời giải chi tiết:

Vì Oz nằm giữa tia Ot và Oy nên:

\(\begin{align}  & \widehat{tOz}+\widehat{zOy}=\widehat{tOy} \\  & \widehat{tOz}+\widehat{zOy}={{90}^{0}} \\ \end{align}\)

Mà \(\text{ }\widehat{xOt}=\widehat{zOy}\Rightarrow \widehat{tOz}+\widehat{xOt}={{90}^{0}}.\)

Lại có tia Ot nằm giữa tia Ox và Oz nên \(\widehat{tOz}+\widehat{xOt}=\widehat{xOz}.\)

Vậy \(\widehat{xOz}={{90}^{0}}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng tính chất tia nằm giữa hai tia còn lại. Từ đó áp dụng công thức cộng góc, tính số đo góc mOn. Từ đó chứng minh Om là tia phân giác của góc xOn.

b)     Áp dụng tính chất tia nằm giữa hai tia còn lại. Từ đó áp dụng công thức cộng góc, tính số đo góc nOz. Từ đó chứng minh On vuông góc với Oz.

Lời giải chi tiết:

a)     Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy

\(\begin{align}  & \Rightarrow \widehat{xOm}+\widehat{mOy}=\widehat{xOy} \\  & \Rightarrow {{30}^{0}}+\widehat{mOy}={{90}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{mOy}={{90}^{0}}-{{30}^{0}}={{60}^{0}}\,\,\,\,\, \\ \end{align}\)

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có : \(\widehat{nOy}<\widehat{mOy}\,\,\left( {{30}^{0}}<{{60}^{0}} \right)\)

Suy ra tia On nằm giữa hai tia Om và Oy

\(\begin{align} & \Rightarrow \widehat{nOy}+\widehat{mOn}=\widehat{mOy} \\  & \Rightarrow {{30}^{0}}+\widehat{mOn}={{60}^{0}} \\  & \Rightarrow \widehat{mOn}={{60}^{0}}-{{30}^{0}}={{30}^{0}}\,\,\,\,\, \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \widehat{xOm}=\widehat{mOn}={{30}^{0}}\) và tia Om nằm giữa hai tia Ox và On

Vậy Om là tia phân giác của góc xOn.

b)     Vì Oy là tia phân giác của góc mOz nên \(\widehat{mOz}=2.\widehat{mOy}={{2.60}^{0}}={{120}^{0}}\)

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Om có: \(\widehat{mOn}<\widehat{mOz}\,\,\left( {{30}^{0}}<{{120}^{0}} \right)\)

Suy ra tia On nằm giữa hai tia Om và Oz

\(\begin{align}  & \Rightarrow \widehat{mOn}+\widehat{nOz}=\widehat{mOz} \\ & \Rightarrow {{30}^{0}}+\widehat{nOz}={{120}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{nOz}={{120}^{0}}-{{30}^{0}}={{90}^{0}}\,\,\,\,\, \\ \end{align}\)

Vậy On vuông góc với Oz.

Phương pháp giải:

 a) Dựa vào giả thiết của bài toán, rút một góc theo góc còn lại. Thay vào tính số đo 2 góc đó.

b) Áp dụng tính chất tia nằm giữa hai tia còn lại. Từ đó áp dụng công thức cộng góc, tính số đo góc xOt và góc tOy. Từ đó chứng minh Ot là tia phân giác của góc xOy.

c) Áp dụng tính chất tia nằm giữa hai tia còn lại, cộng góc để tính số đo góc yOz’. Từ đó so sánh số đo góc xOz và yOz’.

Lời giải chi tiết:

a)     Theo đề bài ta có: \(\widehat{xOy}-\widehat{yOz}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{xOy}={{120}^{0}}+\widehat{yOz}\)

Mà \(\widehat{xOy}+\widehat{yOz}={{160}^{0}}\)

\(\begin{align}& \Rightarrow {{120}^{0}}+\widehat{yOz}+\widehat{yOz}={{160}^{0}} \\  & \Rightarrow {{120}^{0}}+2.\widehat{yOz}={{160}^{0}} \\  & \Rightarrow 2.\widehat{yOz}={{160}^{0}}-{{120}^{0}}={{40}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{yOz}={{20}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{xOy}={{120}^{0}}+{{20}^{0}}={{140}^{0}} \\ \end{align}\)

b)     Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oz

\(\begin{align}  & \Rightarrow \widehat{xOt}+\widehat{tOz}=\widehat{xOz} \\  & \Rightarrow \widehat{xOt}+{{90}^{0}}={{160}^{0}} \\  & \Rightarrow \widehat{xOt}={{160}^{0}}-{{90}^{0}}={{70}^{0}}\,\,(1) \\ \end{align}\)

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz có: \(\widehat{yOz}<\widehat{tOz}\,\,\left( {{20}^{0}}<{{90}^{0}} \right)\)

Suy ra tia Oy nằm giữa tia Ot và Oz

\(\begin{align}& \Rightarrow \widehat{tOy}+\widehat{yOz}=\widehat{tOz} \\  & \Rightarrow \widehat{tOy}+{{20}^{0}}={{90}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{tOy}={{90}^{0}}-{{20}^{0}}={{70}^{0}}\,\,\,(2) \\ \end{align}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{xOt}=\widehat{tOy}={{70}^{0}}\) và tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy.

Vậy Ot là tia phân giác của góc xOy.

c)     Vì Oz’ là tia đối của tia Oz nên \(\widehat{zOz'}={{180}^{0}}\).

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz có: \(\widehat{yOz}<\widehat{zOz'}\,\,\left( {{20}^{0}}<{{180}^{0}} \right)\)

Suy ra tia Oy nằm giữa hai tia Oz và Oz’

\(\begin{align} & \Rightarrow \widehat{yOz}+\widehat{yOz'}=\widehat{zOz'} \\  & \Rightarrow {{20}^{0}}+\widehat{yOz'}={{180}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{yOz'}={{180}^{0}}-{{20}^{0}}={{160}^{0}} \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \widehat{xOz}=\widehat{yOz'}={{160}^{0}}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

 Áp dụng công thức cộng góc, tính chất tia phân giác của một góc, tính số đo góc mOn. Áp dụng tính chất hai tia đối để chứng minh Om và On là hai tia đối nhau.

Lời giải chi tiết:

Vì Oz, Ot nằm ngoài góc xOy nên \(\widehat{xOy}+\widehat{yOt}+\widehat{tOz}+\widehat{\text{zOx}}={{360}^{0}}\).

Mà \(\widehat{yOt}+\widehat{\text{zOx}}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}.\)

\(\Rightarrow \widehat{xOy}+\widehat{\text{tOz}}={{360}^{0}}-{{180}^{0}}={{180}^{0}}.\)

Vì Om là tia phân giác góc xOy \(\Rightarrow \widehat{mOy}=\frac{1}{2}.\widehat{xOy}\)

Vì On là tia phân giác góc tOz \(\Rightarrow \widehat{tOn}=\frac{1}{2}.\widehat{tOz}\)

\(\Rightarrow \widehat{mOy}+\widehat{\text{tOn}}=\frac{1}{2}(\widehat{xOy}+\widehat{\text{tOz}})=\frac{1}{2}{{.180}^{0}}={{90}^{0}}.\)

Ta có: \(\widehat{mOn}=\widehat{mOy}+\widehat{tOn}+\widehat{\text{yOt}}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\)

Vậy hai tia Om và On là hai tia đối nhau.