10 bài tập tổng hợp Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức

Câu hỏi 1 :

Mẫu thức chung của 2 phân thức \(\dfrac{1}{{14{x^2}y}}\) và \(\dfrac{8}{{21x{y^5}}}\) là:

A \(42{x^2}{y^5}\)
B \(42{x^3}{y^4}\)
C \(7xy\)
D \(21{x^2}{y^5}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

MTC của \(\dfrac{1}{{14{x^2}y}}\) và \(\dfrac{8}{{21x{y^5}}}\)là: \(42{x^2}{y^5}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Phân thức \(\dfrac{{x - 5}}{{x - 2}}\) sau khi quy đồng mẫu thức 2 phân thức \(\dfrac{{x - 5}}{{x - 2}};\dfrac{1}{{{x^2}}}\) là:

A \(\dfrac{{(x - 5){x^2}}}{{{{(x - 2)}^2}{x^2}}}\)
B \(\dfrac{{(x - 5){x^2}}}{{{{(2 - x)}^2}{x^2}}}\)
C \(\dfrac{{(x - 5){x^2}}}{{(x - 2){x^2}}}\)
D \(\dfrac{{(x - 5){x^2}}}{{(2 - x){x^2}}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

MTC: \({x^2}(x - 2)\)

\(\dfrac{{x - 5}}{{x - 2}} = \dfrac{{{x^2}(x - 5)}}{{{x^2}(x - 2)}}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Mẫu thức chung của 3 phân thức \(\dfrac{4}{{{x^3}{y^2}}};\dfrac{7}{{4{x^5}y}}\) và \(\dfrac{5}{{12{x^5}{y^2}}}\) là:

A \(48{x^3}{y^2}\)
B \(48{x^5}y\)
C \(12{x^5}y\)
D \(12{x^5}{y^2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Mẫu thức chung của 3 phân thức \(\dfrac{4}{{{x^3}{y^2}}};\dfrac{7}{{4{x^5}y}}\) và \(\dfrac{5}{{12{x^5}{y^2}}}\) là: \(12{x^5}{y^2}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Đa thức \({x^3} - 6{x^2} + 11x - 6\) là mẫu thức chung của 2 phân thức nào sau đây:

A \(\dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 3}};\dfrac{{2x}}{{x - 2}}\)
B \(\dfrac{1}{{{x^2} - 3x + 2}};\dfrac{1}{{x - 5}}\)
C \(\dfrac{1}{{x - 2}};\dfrac{x}{{x - 3}};\dfrac{{{x^2}}}{{x - 6}}\)
D Cả A, B, C đều sai

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 3}} = \dfrac{1}{{(x - 1)(x - 3)}}\)

MTC: \((x - 1)(x - 2)(x - 3) = ({x^2} - 3x + 2)(x - 3) = {x^3} - 6{x^2} + 11x - 6\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Mẫu thức chung của các phân thức \( - 1;\dfrac{2}{{{x^2} - x + 1}};\dfrac{{3x}}{{{x^3} + 1}}\) là:

A \({x^3} - 1\)
B \((x + 1)({x^2} - x + 1)\)
C \({x^3} + 1\)
D Cả B, C đều đúng

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết :

Vì \({x^3} + 1 = (x + 1)({x^2} - x + 1)\) nên cả B và C đều đúng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Quy đồng mẫu thức \(\dfrac{{x}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\,\,;\dfrac{{x - 2}}{{{x}\left( {3x - 2} \right)}}\) ta sẽ “không” thu được kết quả là:

A \(\dfrac{{{{x}^2}}}{{x{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\,\,;\dfrac{{(x - 2)(3x - 2)}}{{{x}{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\)
B \(\dfrac{{{{x}^2}}}{{x{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\,\,;\dfrac{{(x - 2)(2 - 3x)}}{{{x}{{\left( {2 - 3x} \right)}^2}}}\)
C \(\dfrac{{{{x}^2}}}{{x{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\,\,;\dfrac{{(x - 2)(3x - 2)}}{{{x}{{\left( {2 - 3x} \right)}^2}}}\)
D \(\dfrac{{{{x}^2}}}{{x{{\left( {2 - 3x} \right)}^2}}}\,\,;\dfrac{{(x - 2)(3x - 2)}}{{{\text{x}}{{\left( {2 - 3x} \right)}^2}}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\dfrac{{x}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\, = \dfrac{{{{x}^2}}}{{x{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}} = \,\dfrac{{{{x}^2}}}{{x{{\left( {2 - 3x} \right)}^2}}}\) (vì \({\left( {3x - 2} \right)^2}\)=\({\left( {2 - 3x} \right)^2}\))

\(\dfrac{{x - 2}}{{{x}\left( {3x - 2} \right)}} = \dfrac{{(x - 2)(3x - 2)}}{{x{{(3x - 2)}^2}}} = \dfrac{{(x - 2)(3x - 2)}}{{x{{(2 - 3x)}^2}}} = - \dfrac{{(x - 2)(2 - 3x)}}{{x{{(2 - 3x)}^2}}}\)

Suy ra A, C, D đúng. B sai.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

(1,5đ) Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\dfrac{a}{{{{(a + b)}^2}}}\) và \(\dfrac{b}{{{{(a - b)}^2}}}\)

b) \(\dfrac{{x - 2}}{{x{y^2}}}\)và \(\dfrac{{1 - x}}{{12{x^3}{y^4}}}\)

c) \(\dfrac{{7x - 1}}{{2{x^2} + 6x}}\) và \(\dfrac{{5 - x}}{{{x^2} - 9}}\)

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

a) \(\dfrac{a}{{{{(a + b)}^2}}}\) và \(\dfrac{b}{{{{(a - b)}^2}}}\).

MTC: \({(a + b)^2}{(a - b)^2}\).

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{{{(a + b)}^2}}} = \dfrac{{a{{(a - b)}^2}}}{{{{(a + b)}^2}{{(a - b)}^2}}}\\\dfrac{b}{{{{(a - b)}^2}}} = \dfrac{{b{{(a + b)}^2}}}{{{{(a + b)}^2}{{(a - b)}^2}}}\end{array}\)

b) \(\dfrac{{x - 2}}{{x{y^2}}}\) và \(\dfrac{{1 - x}}{{12{x^3}{y^4}}}\)

MTC: \(12{x^3}{y^4}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 2}}{{x{y^2}}} = \dfrac{{12{x^2}{y^2}(x - 2)}}{{12{x^3}{y^4}}} = \dfrac{{12{x^3}{y^2} - 24{x^2}{y^2}}}{{12{x^3}{y^4}}}\\\dfrac{{1 - x}}{{12{x^3}{y^4}}} = \dfrac{{1 - x}}{{12{x^3}{y^4}}}\end{array}\)

c) \(\dfrac{{7x - 1}}{{2{x^2} + 6x}}\) và \(\dfrac{{5 - x}}{{{x^2} - 9}}\)

Ta có:

\(2{x^2} + 6x = 2x(x + 3)\)

\({x^2} - 9 = (x + 3)(x - 3)\)

MTC: \(2x(x + 3)(x - 3)\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{7x - 1}}{{2{x^2} + 6x}} = \dfrac{{(7x - 1)(x - 3)}}{{2x(x - 3)(x + 3)}} = \dfrac{{7{x^2} - 22x + 3}}{{2x(x - 3)(x + 3)}}\\\dfrac{{5 - x}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{2x(5 - x)}}{{2x(x - 3)(x + 3)}} = \dfrac{{ - 2{x^2} + 10x}}{{2x(x - 3)(x + 3)}}\end{array}\)

Câu hỏi 8 :

(2đ) Quy đồng mẫu thức các thức sau:

a) \(A = \dfrac{5}{{2x - 4}};B = \dfrac{4}{{3x - 9}};C = \dfrac{7}{{10 - 5x}}\)

b) \(D = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}};E = \dfrac{{3x - 1}}{{{x^3} + 2{x^2} + x}};F = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^3}}}\)

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
a)A = \frac{5}{{2x - 4}};B = \frac{4}{{3x - 9}};C = \frac{7}{{10 - 5x}}\\
2x - 4 = 2(x - 2)\\
3x - 9 = 3(x - 3)\\
10 - 5x = 5(2 - x)\\
MTC:2.3.5(x - 2)(x - 3) = 30(x - 2)(x - 3)\\
A = \frac{5}{{2x - 4}} = \frac{{5.3.5(x - 3)}}{{30(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{75(x - 3)}}{{30(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{75x - 225}}{{30(x - 2)(x - 3)}}\\
B = \frac{4}{{3x - 9}} = \frac{{4.2.5(x - 2)}}{{30(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{40(x - 2)}}{{30(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{40x - 80}}{{30(x - 2)(x - 3)}}\\
C = \frac{7}{{10 - 5x}} = \frac{{ - 7}}{{5(x - 2)}} = \frac{{ - 7.2.3(x - 3)}}{{30(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{ - 42(x - 3)}}{{30(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{ - 42x + 126}}{{30(x - 2)(x - 3)}}\\
b)D = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}};E = \frac{{3x - 1}}{{{x^3} + 2{x^2} + x}};F = \frac{{2x + 1}}{{{x^3}}}\\
{x^2} - 1 = (x - 1)(x + 1)\\
{x^3} + 2{x^2} + x = x({x^2} + 2x + 1) = x{(x + 1)^2}\\
MTC:{x^3}{(x + 1)^2}(x - 1)\\
D = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{{x^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{{x^2}.{x^3}\left( {x + 1} \right)}}{{{x^3}{{(x + 1)}^2}(x - 1)}} = \frac{{{x^5}(x + 1)}}{{{x^3}{{(x + 1)}^2}(x - 1)}}\\
E = \frac{{3x - 1}}{{{x^3} + 2{x^2} + x}} = \frac{{3x - 1}}{{x{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{(3x - 1){x^2}(x - 1)}}{{{x^3}{{(x + 1)}^2}(x - 1)}}\\
F = \frac{{2x + 1}}{{{x^3}}} = \frac{{(2x + 1)(x - 1){{(x + 1)}^2}}}{{{x^3}{{(x + 1)}^2}(x - 1)}}
\end{array}\)

Câu hỏi 9 :

(3đ) Thực hiện phép chia: \({{\text{x}}^4} + 2{{\text{x}}^3} - {{\text{x}}^2} - 2x\) cho mẫu thức của các phân thức sau:

a) \(\dfrac{5}{{{x^2} + 3x + 2}}\)

b) \(\dfrac{{6{x^2} - 2x + 1}}{{{x^3} - x}}\)

c) \(\dfrac{{7x}}{{{x^3} + {x^2} - 2x}}\)

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Câu hỏi 10 :

(0,5đ) Chứng minh \(\dfrac{{3 - 4x}}{{1 + {x^2}}} = \dfrac{{{{(2 - x)}^2}}}{{1 + {x^2}}} - 1\). Tìm \(x\) để \(A = \dfrac{{3 - 4x}}{{1 + {x^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\dfrac{{{{(2 - x)}^2}}}{{1 + {x^2}}} - 1 = \dfrac{{4 - 4x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}} - 1 = \dfrac{{4 - 4x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}} - \dfrac{{1 + {x^2}}}{{1 + {x^2}}} = \dfrac{{3 - 4x}}{{1 + {x^2}}}\) (đpcm)

Suy ra \(A = \dfrac{{3 - 4x}}{{1 + {x^2}}} = \dfrac{{{{(2 - x)}^2}}}{{1 + {x^2}}} - 1 \geqslant - 1\) vì \(\dfrac{{{{(2 - x)}^2}}}{{1 + {x^2}}} \geqslant 0,\forall x\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Vậy \(A\) đạt GTNN là \( - 1\) khi \(x = 2\).