Phương pháp giải:

Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa.

Giải hệ phương trình hoặc thử nghiệm của hệ phương trình và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 16}  + \sqrt {y - 9}  = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\frac{{8xy}}{{{x^2} + {y^2} + 6xy}} + \frac{{17}}{8}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) = \frac{{21}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Điều kiện: \(x \ge 16;y \ge 9\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{8}{{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 6}} + \frac{{17}}{8}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) = \frac{{21}}{4}\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Đặt \(t = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}\).

Ta có: \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}  = 2\) với mọi \(x \ge 16;\,\,y \ge 9\) \( \Rightarrow t \ge 2.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 3 \right) \Leftrightarrow \frac{8}{{t + 6}} + \frac{{17}}{8}t = \frac{{21}}{4}\\ \Leftrightarrow 64 + 17t\left( {t + 6} \right) = 42\left( {t + 6} \right)\\ \Leftrightarrow 17{t^2} + 60t - 188 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {17t + 94} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 2 = 0\\17t + 94 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - \frac{{94}}{{17}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy = 0\\ \Leftrightarrow x = y.\\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 16}  + \sqrt {x - 9}  = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x - 16}  + \sqrt {x - 9} } \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow x - 16 + x - 9 + 2\sqrt {\left( {x - 16} \right)\left( {x - 9} \right)}  = 49\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x - 16} \right)\left( {x - 9} \right)}  = 74 - 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 16} \right)\left( {x - 9} \right)}  = 37 - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}37 - x \ge 0\\\left( {x - 16} \right)\left( {x - 9} \right) = {\left( {37 - x} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 37\\{x^2} - 25x + 144 = 1369 - 74x + {x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 37\\49x = 1225\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 37\\x = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 25\\ \Rightarrow x = y = 25\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {25;\,\,25} \right)\) thỏa mãn bài toán.

Chọn C.