Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học

Câu 8 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng:

Đề bài

Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng bđt tam giác: Tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba.

Kết hợp tính chất nhân cả hai vế của bđt với một số dương thì bđt không đổi chiều.

Lời giải chi tiết

Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên

\(\eqalign{
& a < b + c \Rightarrow {a^2} < a\left( {b + c} \right) \cr &\Rightarrow {a^2} < ab + ac\,\,\,(1) \cr
& b < a + c \Rightarrow {b^2} < b(a+c) \cr &\Rightarrow {b^2} <ba + bc\,\,(2) \cr
& c < a + b \Rightarrow {c^2} < c(a+b)\cr & \Rightarrow {c^2} < ca + cb\,\,\,(3)\cr} \)

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: \({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + ac + ba + bc + ca + cb\) \(\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)

HocTot.Nam.Name.Vn

Chia sẻ