Câu 3.2 trang 85 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho số thực $x \ne k2\pi .$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có

$1 + \cos x + \cos 2x + ... + \cos nx = {{\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}\cos {{nx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}$

Lời giải chi tiết

Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh

$1 + \cos x + \cos 2x + ... + \cos nx = {{\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}\cos {{nx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}$    (1)     với mọi $n \in N^*.$

Với $n = 1,$ vì $x \ne k2\pi$ (theo giả thiết) nên

$1 + \cos x = 2{\cos ^2}{x \over 2} = {{\sin {{\left( {1 + 1} \right)x} \over 2}\cos {{1.x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}$                    (2)

Như vậy (1) đúng khi $n = 1$

Giả sử đã có (1) đúng khi $n = k,k \in N^*.$ Khi đó , ta có

$\eqalign{ & 1 + \cos x + \cos 2x + ... + \cos kx + \cos (k + 1)x \cr&= {{\sin {{\left( {1 + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} + \cos (k + 1)x \cr  & = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2} + \cos (k + 1)x.\sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr  & \cr  & = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\cos {{kx} \over 2} - 2{{\sin }^2}{{(k + 1)x} \over 2}.\sin {x \over 2} + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr  & = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\left( {\cos {{kx} \over 2} - 2\sin {{(k + 1)x} \over 2}.\sin {x \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr  & = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}\left( {\cos {{kx} \over 2} + \cos {{(k + 2)x} \over 2} - \cos {{kx} \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr  & = {{{1 \over 2}\left( {\sin {{\left( {2k + 3} \right)x} \over 2} - \sin {x \over 2}} \right) + \sin {x \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr  & = {{\sin {{\left( {k + 2} \right)x} \over 2}\cos {{(k + 1)x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}} \cr}$

Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi $n = k + 1$.

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi $n \in N^*.$

HocTot.Nam.Name.Vn