Đề bài

Gọi $\left( {x;y} \right)$ là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình $-4x + 3y = 8$ . Tính $x + y$

A.

$5$
B.

$6$
C.

$7$
D.

$4$

Phương pháp giải

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.
Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của
Bước 4: Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của bằng một số nguyên , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và $t$.
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

Ta có $ - 4x + 3y = 8$ hay $ y = \dfrac{{4x + 8}}{3} = x + \dfrac{{x + 8}}{3}$

Đặt $\dfrac{{x + 8}}{3} = t $ suy ra $ x = 3t - 8$

Do đó $y = 3t - 8 + t = 4t - 8\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = 4t - 8\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x,y$ nguyên dương nên $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. $ hay $ \left\{ \begin{array}{l}3t - 8 > 0\\4t - 8 > 0\end{array} \right. $

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}t > \dfrac{8}{3}\\t > 2\end{array} \right.$

Do đó $t > \dfrac{8}{3}$ mà $t \in \mathbb{Z} $ suy ra $ t \ge 3$.

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3.3 - 8\\y = 4.3 - 8\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right.$

Suy ra $x + y = 5$.

Đáp án : A