Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn: $6a + 2b + 3c = 11.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \dfrac{{2b + 3c + 16}}{{1 + 6a}} + \dfrac{{6a + 3c + 16}}{{1 + 2b}} + \dfrac{{6a + 2b + 16}}{{1 + 3c}}$.

Đặt $x = 1 + 6a; y = 1 + 2b; z = 1 + 3c\,\,\left( {x,y,z > 0} \right)$

$\Rightarrow x + y + z = 1 + 6a + 1 + 2b + 1 + 3c$$= 3 + \left( {6a + 2b + 3c} \right) = 3 + 11 = 14$

Ta có: $2b + 3c + 16 = y - 1 + z - 1 + 16 = y + z + 14$

$6a + 3c + 16 = x + z + 14$

$6a + 2b + 16 = x + y + 14$

Từ đó: $M = \dfrac{{z + y + 14}}{x} + \dfrac{{x + z + 14}}{y} + \dfrac{{x + y + 14}}{z}$

$= \dfrac{z}{x} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{{14}}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{{14}}{y} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{14}}{z}$

$= \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + 14\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$

$= \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$

$= 2\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + 2\left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + 2\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + 3$

Mặt khác: $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2$ dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $x = y$

$\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} \ge 2.$ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $x = z$

$\dfrac{z}{y} + \dfrac{y}{z} \ge 2.$ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $z = y$

Khi đó: $M \ge 2. 2 + 2. 2 + 2. 2 + 3 \Rightarrow M \ge 15.$ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = 1$

Suy ra: $a = \dfrac{{11}}{{18}};b = \dfrac{{11}}{6};c = \dfrac{{11}}{9}.$

Vậy ${M_{min}} = 15$ khi $a = \dfrac{{11}}{{18}};b = \dfrac{{11}}{6};c = \dfrac{{11}}{9}.$