Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f(t) = \dfrac{3\, 000}{1 + 3\text{e}^{- t}},\, t \geq 0$, trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Ứng dụng đạo hàm tìm GTLN của hàm số f’(t).
$\left. f(t) = \dfrac{3000}{1 + 3\text{e}^{- t}} = \dfrac{3000\text{e}^{t}}{\text{e}^{t} + 3}\Rightarrow f'(t) = \dfrac{9000e^{t}}{\left( {e^{t} + 3} \right)^{2}} \right.$.
Tốc độ bán hàng lớn nhất tức là f’(t) lớn nhất.
Xét hàm số $h(t) = f'(t) = \dfrac{9\, 000e^{t}}{\left( {e^{t} + 3} \right)^{2}}$, $t \geq 0$.
$h'(t) = \dfrac{\left( {9000e^{t}} \right)'.\left( {e^{t} + 3} \right)^{2} - 2\left( {e^{t} + 3} \right).\left( {e^{t} + 3} \right)'.9000e^{t}}{\left( {e^{t} + 3} \right)^{4}}$
$= \dfrac{9000e^{t}.\left( {3 - e^{t}} \right)}{\left( {e^{t} + 3} \right)^{3}}$.
$\left. h'(t) = 0\Leftrightarrow 3 - e^{t} = 0\Leftrightarrow e^{t} = 3\Leftrightarrow t = \ln 3 \right.$.
Từ bảng biến thiên của hàm số h(t), với $t \geq 0$ suy ra tốc độ bán hàng h(t) lớn nhất khi $t = \ln 3 \approx 1,1$
Vậy sau khi phát hành khoảng 1,1 năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.
Danh sách bình luận