a) Tìm các điểm M thuộc (P): \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) có tung độ gấp 2 lần hoành độ và khác 0.
b) Cho phương trình \({x^2} - x - 10 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính \(x_1^3 + x_2^3\).
a) Biểu diễn điểm có tung độ gấp 2 lần hoành độ.
Thay vào hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) để tìm M.
b) Dùng \(ac < 0\) để xác định số nghiệm của phương trình.
Tính tổng và tích của hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) theo định lí Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).
Biến đổi biểu thức để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.
a) Điểm có tung độ gấp 2 lần hoành độ có toạ độ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) = M\left( {{x_0};2{x_0}} \right)\)
Vì \({y_0} = 2{x_0}\) nên \( - \frac{1}{4}{x_0}^2 = 2{x_0}\)
\( - \frac{1}{4}{x_0}^2 - 2{x_0} = 0\)
\({x_0}^2 + 8{x_0} = 0\)
\({x_0}\left( {{x_0} + 8} \right) = 0\)
\({x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = - 8\)
suy ra \({y_0} = 0\) hoặc \({y_0} = - 16\)
Ta được \(M\left( {0;0} \right)\) (loại) hoặc \(M\left( { - 8; - 16} \right)\).
Vậy \(M\left( { - 8; - 16} \right)\).
b) Vì \(ac = 1.\left( { - 10} \right) = - 10 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Áp dụng định lí Viète, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right)}}{1} = 1\\P = {x_1}{x_2} = \frac{{ - 10}}{1} = - 10\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 3{x_1}{x_2}} \right)\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 3{x_1}{x_2}} \right]\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\\ = 1.\left[ {{1^2} - 3.\left( { - 10} \right)} \right]\\ = 1 + 30\\ = 31\end{array}\)
Vậy \(x_1^3 + x_2^3 = 31\).
Danh sách bình luận