Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta ACM\).
b) Chứng minh \(AM \bot BC\).
c) Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho \(MA = ME\). Kẻ \(BH \bot AC\) tại H, \(CK \bot BE\) tại K. Chứng minh \(AC//BE\) và M là trung điểm của đoạn thẳng HK.
Phương pháp giải
a) Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta ACM\) theo trường hợp cạnh cạnh cạnh.
b) Từ \(\Delta ABM = \Delta ACM\) suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) và hai góc này là hai góc kề bù suy ra \(AM \bot BC\).
c) Chứng minh \(\Delta AMC = \Delta EMB\) nên \(\widehat {ACM} = \widehat {EBM}\), suy ra AC // BE.
Chứng minh MH = MK và H, M, K thẳng hàng nên M là trung điểm của HK.
Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn
a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:
AB = AC (gt)
BM = CM (M là trung điểm của BC)
AM chung
Suy ra \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.c.c)
b) Vì \(\Delta ABM = \Delta ACM\) nên \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này là hai góc kề bù nên \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AMB} + \widehat {AMB} = 180^\circ \), do đó \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(AM \bot BC\).
c) +) Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta EMB\) có:
MA = ME (gt)
\(\widehat {AMC} = \widehat {EMB}\left( { = 90^\circ } \right)\)
\(BM = CM\)
Suy ra \(\Delta AMC = \Delta EMB\) (hai cạnh góc vuông)
nên \(\widehat {ACM} = \widehat {EBM}\) (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // BE.
+) Xét \(\Delta BHC\) và \(\Delta CKB\) có:
\(\widehat {BHC} = \widehat {CKB}\left( { = 90^\circ } \right)\)
\(\widehat {HCB} = \widehat {KBC}\) (cmt)
BC chung
suy ra \(\Delta BHC = \Delta CKB\) (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra \(BH = CK;\widehat {HBC} = \widehat {KCB}\) (hai cạnh và hai góc tương ứng)
Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta CMK\) có:
\(BH = CK\) (cmt)
\(\widehat {HBM} = \widehat {KCM}\) (cmt)
\(BM = CM\)
Suy ra \(\Delta BMH = \Delta CMK\) (c.g.c)
Do đó MH = MK (1) và \(\widehat {BMH} = \widehat {CMK}\)(hai cạnh và hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {BMH} + \widehat {HMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {CMK} + \widehat {HMC} = 180^\circ \), do đó H, M, K thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của HK.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?
Xem lời giải >>
Bài 2 :
Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax; By vuông góc với AB. Gọi C là một điểm thuộc D. Khi đó:
Xem lời giải >>
Bài 3 :
Trong mỗi hình sau (H.4.33) có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?
Xem lời giải >>
Bài 4 :
Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39. Chứng minh rằng
a) Nếu AB = DE, BC = EF và AH = DK thì \(\Delta ABC = \Delta DEF;\)
b) Nếu AB = DE, AC = DF và AH = DK thì \(\Delta ABC = \Delta DEF\)
Xem lời giải >>
Bài 5 :
Cho các điểm A, B, C, D, E, F như Hình 4.58.
a) Tìm ba cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.
b) Chứng minh \(\Delta ADE = \Delta ADF\).
Xem lời giải >>
Bài 6 :
Cho đường thẳng d đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và không vuông góc với AB. Kẻ AP, BQ \(\left( {P \in d,Q \in d} \right)\)vuông góc với đường thẳng d (H 4.60). Chứng minh rằng:
a) AP = BQ
b)\(\Delta APB = \Delta BQA\).
Xem lời giải >>
Bài 7 :
Hai tam giác vuông bằng nhau khi và chỉ khi điều nào dưới đây xảy ra?
A. Một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác kia.
B. Một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác kia.
C. Hai góc nhọn của tam giác này bằng hai góc nhọn của tam giác kia.
D. Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.
Xem lời giải >>
Bài 8 :
Trong mỗi hình sau có cặp hai tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?
Xem lời giải >>
Bài 9 :
Tìm các tam giác vuông bằng nhau trong mỗi hình bên (Hình 19).
Xem lời giải >>
Bài 10 :
Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 22 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.
Xem lời giải >>
Bài 11 :
Cho Hình 53 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông. Chứng minh:
a) IA = IB;
b) IH là tia phân giác của góc AIB.
Xem lời giải >>
Bài 12 :
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ⊥ AM (E ∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN).
EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN
Xem lời giải >>
Bài 13 :
ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ⊥ AM (E ∈ AM), CF ⊥ AN (F ∈ AN).
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN, chúng cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng.
Xem lời giải >>