Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 9} \right){x^2} + \left( {m + 6} \right)x + 1\) là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất.

b) \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1\) là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

c) \(f\left( x \right) = m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 1\) là một tam thức bậc hai vô nghiệm.

Phương pháp giải

Sử dụng biệt thức delta \(\Delta = {b^2} - 4ac\).

+ Nếu \(\Delta < 0\) suy ra phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \(\Delta = 0\) suy ra phương trình có nghiệm kép.

+ Nếu \(\Delta > 0\) suy ra phương trình hai nghiệm phân biệt.

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

a) Để \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai thì \({m^2} + 9 \ne 0\) đúng với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Mặt khác, tam thức trên có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(\Delta = 0\)

hay \({\left( {m + 6} \right)^2} - 4.\left( {{m^2} + 9} \right) = 0 \Rightarrow - 3{m^2} + 12m = 0\) suy ra \(m = 0\) hoặc \(m = 4\).

Vậy khi \(m = 0\) hoặc \(m = 4\) thì \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 9} \right){x^2} + \left( {m + 6} \right)x + 1\) là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất.

b) Để \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai thì \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\) (*)

Mặt khác, tam thức trên có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta > 0\)

hay \({3^2} - 4.\left( {m - 1} \right) > 0 \Rightarrow - 4m + 13 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}\) (**)

Kết hợp (*) và (**) ta được \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{13}}{4}} \right)\backslash 1\)

Vậy khi \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{13}}{4}} \right)\backslash 1\) thì \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1\) là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

c) Để \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai thì \(m \ne 0\).

Mặt khác, tam thức trên vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta < 0\)

hay \({\left( {m + 2} \right)^2} - 4m < 0 \Rightarrow {m^2} + 4 < 0\).

Ta có \({m^2} \ge 0\;\forall m \in \mathbb{R} \Rightarrow {m^2} + 4 \ge 4 > 0\;\forall m \in \mathbb{R}\).

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xem thêm : SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệm tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: \(y = - 200{x^2} + 92\;000x - 8\;400\;000\), trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Như vậy, việc đánh giá hiệu quả kinh doanh loại sản phẩm trên dẫn tới việc xét dấu của \(y = - 200{x^2} + 92\;000x - 8\;400\;000\), tức là ta cần xét dấu của tam thức bậc hai \(f(x) = - 200{x^2} + 92000x - 8400000.\)

Làm thế nào để xét dấu của tam thức bậc hai?