Đề bài

Cho $A = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{x - 5\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}} \right)$ với $x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.$

a) Rút gọn A.

b) Tìm $x \in \mathbb{Z}$ để $A \in \mathbb{Z}$.

c) Tìm x để $A < 0.$

Phương pháp giải

a) Quy đồng, rút gọn.

b) Đưa biểu thức về dạng $A\left( x \right) + \frac{C}{{B\left( x \right)}}$ với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì $B\left( x \right) \in $ Ư(C).

c) Nhận xét mẫu số trước khi giải bất phương trình, lưu ý kết hợp điều kiện.

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

a) Với $x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.$ Ta có:

$A = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{x - 5\sqrt x {\rm{\;}} + 6}}} \right)$

$A = \frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}:\left( {\frac{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 3} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}}} \right)$

$A = \frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}:\frac{{x - 9 - \left( {x - 4} \right) + \sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}}$

$A = \frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}:\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 3}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 3} \right)}}$

$A = \frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}:\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}.$

b) $A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 - 3}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 - \frac{3}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}\left( {x \ge 0} \right)$

Để $A \in \mathbb{Z}$ với x nguyên thì $\sqrt x {\rm{\;}} + 1$ là ước nguyên dương của 3 do $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 > 0$

Ư(3) = {1;3} nên:

+) Với $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 = 1$ suy ra $\sqrt x = 0$ nên $x = 0$ (TM).

+) Với $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 = 3$ suy ra $\sqrt x = 2$ nên $x = 4$ (KTM).

Vậy với $x = 0$ thì $A \in \mathbb{Z}$.

c) Vì $A < 0$ nên $\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} < 0$.

Do $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 > 0$ nên $\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} < 0$ khi $\sqrt x {\rm{\;}} - 2 < 0$ hay $x < 4$.

Kết với $x \ge 0$, suy ra $A > 0$ khi $0 \le x < 4$.

Vậy $0 \le x < 4$ thì $A < 0.$

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } $ là: