Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm M nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?

Bài 1 :

Gọi G(4; -1; 3) là tọa độ trọng tâm tam giác ABC với A(0; 2; -1), B(-1; 3; 2). Tìm tọa độ điểm C.

Bài 2 :

Cho điểm \(G\left( {1;1;2} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) với \(A\left( {2;1;3} \right),B\left( {2;2;1} \right)\). Chọn kết luận đúng về điểm \(C\).

Bài 3 :

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;9; - 1} \right),B\left( {9;4;5} \right)\) và \(G\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.

Bài 4 :

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.

Bài 5 :

Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0; - 1;2} \right)\) và \(G\left( {2;1;0} \right)\). Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là

A. \(\left( {5;4; - 1} \right)\).

B. \(\left( { - 5; - 4;1} \right)\).

C. \(\left( {1;2; - 1} \right)\).

D. \(\left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Bài 6 :

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(B({x_B};{y_B};{z_B})\). Gọi \(M({x_M};{y_M};{z_M})\)là trung điểm đoạn thẳng AB

• Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \)
• Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(B({x_B};{y_B};{z_B})\)

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G

• Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OG} \) theo ba vecto \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OC} \)
• Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm \(A({x_A};{y_A};{z_A})\), \(B({x_B};{y_B};{z_B})\) và \(C({x_C};{y_C};{z_C})\)

Bài 7 :

Cho hai điểm M(1;-2;3) và N(3;4;-5). Trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ là:

A. (-2;1;1)

B (2;1;1)

C. (-2;1;-1)

D. (2;1;-1)

Bài 8 :

Cho tam giác MNP có M(0;2;1), N(-1;-2;3) và P(1;3;2). Trọng tâm của tam giác MNP có tọa độ là:

A. (0;1;2)

B. (0;3;6)

C. (0;-3;-6)

D. (0;-1;-2)

Bài 9 :

Xét hệ tọa độ Oxyz gắn với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ như Hình 39, đơn vị của mỗi trục bằng độ dài cạnh hình lập phương. Biết A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1).

a) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

b) Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác A’BD

c) Xác định tọa độ các vecto \(\overrightarrow {OG} \) và \(\overrightarrow {OC'} \). Chứng minh rằng ba điểm O, G, C’ thẳng hàng và \(OG = \frac{1}{3}OC\)

Bài 10 :

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có toạ độ là A(1; 1; 1), B(5; 7; 9), C(9; 11 ; 4). Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc \(\widehat {BAC}\)

Bài 11 :

Cho tam giác MNP có M(0; 1; 2), N(5; 9; 3), P(7; 8; 2).

a) Tìm toạ độ điểm K là chân đường cao kẻ từ M của tam giác MNP.

b) Tìm độ dài cạnh MN và MP.

c) Tính góc M

Bài 12 :

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot (ABC)\), SA = a và đáy ABC là tam giác đều cạnh a, O là trung điểm của BC. Bằng cách thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy tìm toạ độ:

a) Các điểm A, S, B, C

b) Trung điểm M của SB và trung điểm N của SC;

c) Trọng tâm G của tam giác SBC

Bài 13 :

Cho tam giác MNP có M(2; 1; 3), N(1; 2; 3), P(–3; –1; 0). Tìm toạ độ:

a) Các điểm M′, N′, P′ lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, MP, MN;

b) Trọng tâm G của tam giác M′N′P′.

Bài 14 :

Cho tam giác ABC có \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Gọi \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) là trung điểm của đoạn thẳng AB và \(G({x_G};{y_G};{z_G})\) là trọng tâm của tam giác ABC. Sử dụng các hệ thức vectơ \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} )\),\(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )\), tìm toạ độ của các điểm M và G.

Bài 15 :

Cho ba điểm A(2; 1; –1), B(3; 2; 0) và C(2; –1; 3).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 16 :

Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm toạ độ của các điểm:

a) \({M_1},{M_2},{M_3}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) 

b) Gọi M', M", M"' lần lượt là các điểm thỏa mãn:

+ O là trung điểm của MM';

+ MM" vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm H sao cho H là trung điểm của MM";

+ MM"' vuông góc và cắt trục Oy tại điểm K sao cho K là trung điểm của MM"'.

Bài 17 :

Cho ba điểm A(3;3;3), B(1;1;2) và C(5;3;1).

a) Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai điểm B, C.

b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) cách đều ba điểm A, B, C.

Bài 18 :

Cho hai điểm A(3; –2; 3) và B(–1; 2; 5). Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A. I(–2; 2; 1). 

B. I(1; 0; 4). 

C. I(2; 0; 8).

D. I(2; –2; –1)

Bài 19 :

Cho ba điểm A(1; 3; 5), B(2; 0; 1), C(0; 9; 0). Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. G(3; 12; 6).

B. G(1; 5; 2).

C. G(1; 0; 5).

D. G(1; 4; 2).

Bài 20 :

Cho ba điểm A(0; 2; -1), B(-5; 4; 2), C(-1; 0; 5). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 21 :

Cho sáu điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {2; - 1;1} \right),C\left( {3;3; - 3} \right)\) và \(A',B',C'\) thoả mãn \(\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow 0 \). Tìm toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(A'B'C'\).

Bài 22 :

Cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(C\left( { - 2;2;2} \right)\) và trọng tâm \(G\left( { - 1;1;2} \right)\). Tìm toạ độ các đỉnh \(A,B\) của tam giác \(ABC\), biết điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và điểm \(B\) thuộc \(Oz\).

Bài 23 :

Cho tứ diện \(ABCD\). Lấy \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Phát biểu nào sau đây là sai?

A. \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

B. \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

C. \(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD}  = 3\overrightarrow {CG} \)

D. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \).

Bài 24 :

Cho hai điểm \(A\left( {2;2; - 1} \right)\) và \(B\left( {4;6; - 3} \right)\). Toạ độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) là:

A. \(\left( {3;4; - 2} \right)\)

B. \(\left( {6;8; - 4} \right)\)

C. \(\left( {1;2; - 1} \right)\)

D. \(\left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Bài 25 :

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;3;2} \right),B\left( {2; - 1;1} \right)\) và \(C\left( {3;1;0} \right)\). Toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là:

A. \(\left( {6;3;3} \right)\)

B. \(\left( {2;1;1} \right)\)

C. \(\left( {3;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

D. \(\left( {2;\frac{5}{3};1} \right)\)

Bài 26 :

Cho hai điểm \(M\left( {5;2; - 3} \right)\) và \(N\left( {1; - 4;5} \right)\). Trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) có toạ độ là:

A. \(\left( {4;6; - 8} \right)\)

B. \(\left( {2;3; - 4} \right)\)

C. \(\left( {6; - 2;2} \right)\)

D. \(\left( {3; - 1;1} \right)\)

Bài 27 :

Cho tam giác \(MNP\) có \(M\left( {1; - 2;1} \right),N\left( { - 1; - 2;3} \right)\) và \(P\left( {3;1;2} \right)\). Trọng tâm của tam giác \(MNP\) có toạ độ là:

A. \(\left( {1; - 1;2} \right)\)

B. \(\left( {3; - 3;6} \right)\)

C. \(\left( { - 1;1; - 2} \right)\)

D. \(\left( { - 3;3; - 6} \right)\)

Bài 28 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {1;3; - 3} \right)\), \(B\left( {2;0;5} \right)\), \(C\left( {6;9; - 5} \right)\) và

\(D\left( { - 1; - 4;3} \right)\).

a) Tìm tọa độ trọng tâm \(I\) của tam giác \(ABC\).

b) Tìm tọa độ của điểm \(G\) thuộc đoạn thẳng \(DI\) sao cho\(DG = 3IG\).

Bài 29 :

Cho tứ diện \(ABCD\). Trọng tâm \(G\) của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng tọa độ của điểm \(G\) được cho bởi công thức:

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}.\)

Bài 30 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;3;5} \right)\), \(B\left( {0;6; - 2} \right)\), \(C\left( {5;3;6} \right)\). Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là

A. \(\left( {2;3;4} \right)\)

B. \(\left( {2;4;3} \right)\)

C. \(\left( {3;4;2} \right)\)

D. \(\left( {3;2;4} \right)\)