Cho \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{29.30}} + \frac{1}{{30.31}}\) và \(B = \frac{1}{{1.4}} + \frac{2}{{4.10}} + \frac{3}{{10.19}} + \frac{4}{{19.31}}\)
Chứng tỏ rằng \(A > B\).
- Nhân B với \( \frac{1}{3}\)
- Biến đổi tử số sao cho xuất hiện hiệu của hai số ở dưới mẫu, sau đó áp dụng:
\(\frac{{a - b}}{{a.b}} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}\)
- Để so sánh hai phân số cùng mẫu, to so sánh tử số, tử số nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{29.30}} + \frac{1}{{30.31}}\\ = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + ... + \frac{{30 - 29}}{{29.30}} + \frac{{31 - 30}}{{30.31}}\\ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{29}} - \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{31}}\\ = 1 - \frac{1}{{31}}\\ = \frac{{31}}{{31}} - \frac{1}{{31}}\\ = \frac{{30}}{{31}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{1.4}} + \frac{2}{{4.10}} + \frac{3}{{10.19}} + \frac{4}{{19.31}}\\ = \frac{1}{3}\left( {\frac{3}{{1.4}} + \frac{6}{{4.10}} + \frac{9}{{10.19}} + \frac{{12}}{{19.31}}} \right)\\ = \frac{1}{3}\left( {\frac{{4 - 1}}{{1.4}} + \frac{{10 - 4}}{{4.10}} + \frac{{19 - 10}}{{10.19}} + \frac{{31 - 19}}{{19.31}}} \right)\\ = \frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{19}} + \frac{1}{{19}} - \frac{1}{{31}}} \right)\\ = \frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{{31}}} \right)\\ = \frac{1}{3}.\frac{{30}}{{31}}\\ = \frac{{10}}{{31}}\end{array}\)
Ta có: \(\frac{{30}}{{31}} > \frac{{10}}{{31}}\) Suy ra \(A > B\)
Vậy \(A > B\)
Danh sách bình luận