Nội dung từ Loigiaihay.Com
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S và (SAD)⊥(ABCD).
a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
- Thể tích khối chóp V=13h.S
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
a) Trong (SAD) kẻ SE⊥AD
Mà (SAD)⊥(ABCD),(SAD)∩(ABCD)=AD⇒SE⊥(ABCD)
Xét tam giác SAD vuông cân tại S có
SE⊥AD
⇒ E là trung điểm của AD
⇒SE=AD2=a2
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=a2
Thể tích khối chóp là V=13SE.SABCD=13.a2.a2=a36
b) Trong (ABCD) kẻ EF // AB mà AB⊥BC⇒EF⊥BC
mà SE⊥BC⇒BC⊥(SEF);BC⊂(SBC)⇒(SEF)⊥(SBC)
(SEF)∩(SBC)=SF
Trong (SEF) kẻ EG⊥SF
⇒EG⊥(SBC)
Ta có AD // BC nên AD // (SBC)
⇒d(AD,SC)=d(AD,(SBC))=d(E,(SBC))=EG
Vì ABCD là hình vuông và EF // AB nên EF = AB = a
Xét tam giác SEF vuông tại E có
1EG2=1SE2+1EF2=1(a2)2+1a2=5a2⇒EG=a√55
Vậy d(AD,SC)=a√55
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.
a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.
b) Chứng minh rằng (ACC′A′) ⊥ (BDD′B′).
c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng ^COC′ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'], [A, BD, C'].
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'.
a) Chứng minh rằng (BDD′B′) ⊥ (ABCD).
b) Xác định hình chiếu của AC′ trên mặt phẳng (ABCD).
c) Cho AB = a, BC = b, CC′ = c. Tính AC′.
Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.
a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.
b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).
Cho các phát biểu sau:
(1) Hai mặt phẳng (P) và (Q) có giao tuyến là đường thẳng a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì a⊥(R).
(2) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng a, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng a thì b⊥(Q).
(3) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và a vuông góc với (Q) thì (P)⊥(Q).
(4) Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì a⊥(Q).
Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại A, tam giác BCD cân tại D. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng BC⊥(AID).
b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH⊥(BCD).
c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,BC= a và ^CAB=300. Biết SA⊥(ABC) và SA=a√2.
a) Chứng minh rằng (SBC)⊥(SAB).
b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a,AA′⊥(ABCD) và ^BAD=600.
a) Tính thể tích của khối hộp ABCD.A′B′C′D′.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BD).
Cho hai tam giác cân ABC và ABD có đáy chung AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng AB⊥CD.
b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
b) Tinh thể tích của khối chóp.
Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD.
a) Chứng minh rằng (SMD)⊥(SNC).
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SNC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a;CD=a; số đo góc nhị diện [S,BC,A] bằng 60∘. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ bằng a, chiều cao h=2a và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng a2.
a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
b) Tính thể tích chân cột nói trên theo a.
Cho tứ diện OABC có OA=OB=OC=a,^AOB=^AOC=600 và ^BOC=900.
a) Chứng minh rằng (OBC)⊥(ABC).
b) Tính theo a khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và thể tích khối tứ diện OABC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA⊥(ABCD) và SA=a√2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.
a) Chứng minh rằng AE⊥(SBC).
b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ^BAD=600. Biết SA⊥(ABCD) và SA=a.
a) Chứng minh rằng BD⊥SC.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD=a,AB=a√2. Biết SA⊥(ABCD) và SA=a√3. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.
a) Chứng minh rằng BD⊥(SAM).
b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD.
Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a.
a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45∘.
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60∘.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC′A′) và (BDD′B′) vuông góc với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD′.
Cho hình lập phương MNPQ.M′N′P′Q′ có cạnh bằng a.
a) Góc giữa hai đường thẳng MN và M′P bằng:
A. 30∘.
B. 45∘.
C. 60∘.
D. 90∘.
b) Gọi α là số đo góc giữa đường thẳng M′P và mặt phẳng (MNPQ). Giá trị tanα bằng:
A. 1.
B. 2.
C. √2.
D. 1√2.
c) Số đo của góc nhị diện [N,MM′,P] bằng:
A. 30∘.
B. 45∘.
C. 60∘.
D. 90∘.
d) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (NQQ′N′) bằng:
A. a.
B. a√2.
C. a√2.
D. a2.
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC),AC⊥BC,SA=BC=a√3,AC=a (Hình 99).
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).
c) Tính số đo của góc nhị diện [B,SA,C].
d) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
g) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB (Hình 100).
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và B′C′.
b) Tính góc giữa đường thẳng A′B và mặt phẳng (ABC).
c) Tính số đo của góc nhị diện [B,CC′,M].
d) Chứng minh rằng CC′∥(ABB′A′). Tính khoảng cách giữa đường thẳng CC′ và mặt phẳng (ABB′A′).
e) Chứng minh rằng CM⊥(ABB′A′). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC′ và A′M.
g) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ và thể tích khối chóp A′.MBC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và AB.
a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD).
b) Chứng minh rằng (SMD)⊥(SHC).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi M là trung điểm của AA’. Tỷ số của thể tích khối chóp M.ABCD và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng
A. 13.
B. 12.
C. 16.
D. 23.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và SC=a√2. Gọi H là trung điểm cạnh AB.
a) Chứng minh rằng SH⊥(ABCD).
b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
c) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA=a√2.
a) Chứng minh rằng(SAC)⊥(SBD) và (SAD)⊥(SCD).
b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh (ACF)⊥(SBC) và (AEF)⊥(SAC).
c) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA=a√52. Gọi SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC.
a) Chứng minh rằng (SMN)⊥(ABCD).
b) Tính số đo của góc nhị diện [S,AD,B].
c) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Cho hình lăng trụ đứng ABC⋅A′B′C′ có ^BAC=60∘,AB=2a,AC=3a và số đo của góc nhị diện [A′,BC,A] bằng 45∘.
a) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A′BC).
b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD.
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A'B'D'.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A'B.
Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có đường cao HH′=2a. Cho biết AB=2a,A′B′=a. Gọi B1,C1 lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của:
a) Khối chóp cụt đều ABC.A’B’C’.
b) Khối lăng trụ AB1C1.A′B′C′.