Cho ba số thực \(a, b, c\) khác 2 và thỏa mãn \(a + b + c = 6\). Tính giá trị của biểu thức: \(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\).
Cho ba số thực \(a, b, c\) khác 2 và thỏa mãn \(a + b + c = 6\). Tính giá trị của biểu thức: \(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\).
Quy đồng \(M\) và đặt \(a - 2 = x;\,\,b - 2 = y;\,\,c - 2 = z\).
- Chứng minh rẳng \(x+y+z=0\), sau đó rút \(x + y = - z\) và lập phương hai vế.
- Chuyển vế thành \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\) và thay vào biểu thức sau khi đặt \(x; y; z\) để rút gọn.
Ta có: \(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}\)
Đặt \(a - 2 = x;\,\,b - 2 = y;\,\,c - 2 = z\).
Khi đó \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}\).
Mặt khác, từ \(a+b+c=6\) suy ra \(a−2+b−2+c−2=0\)
Hay \(x+y+z=0\)
Suy ra \(x + y = - z\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x + y} \right)}^3} = {{\left( { - z} \right)}^3}}\\{{x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) = {{\left( { - z} \right)}^3}}\\{{x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) = {{\left( { - z} \right)}^3}}\\{{x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz}\end{array}\)
Do đó \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}} = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3\).
Vậy \(M = 3\)
Danh sách bình luận