a) Giải thích vì sao \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(G(x) = \sqrt x \) có là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không? Giải thích.

Bài 1 :

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) và \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + x\), với \(x \in \mathbb{R}\).

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F’(x) và f(x) có bằng nhau không?

Bài 2 :

Tìm \(\int {{x^3}dx} \)

Bài 3 :

a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C\) (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) không? Vì sao?

Bài 4 :

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

a) \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x\);

b) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x\).

Bài 5 :

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) + G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) + g\left( x \right)\) trên K.

b) Nêu nhận xét về \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx\) và \(\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).

Bài 6 :

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.

a) Chứng minh rằng kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về \(\int {kf\left( x \right)dx} \) và \(k\int {f\left( x \right)dx} \)

Bài 7 :

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) \(F\left( x \right) = x\ln x\) và \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(F\left( x \right) = {e^{\sin x}}\) và \(f\left( x \right) = {e^{\cos x}}\) trên \(\mathbb{R}\).

Bài 8 :

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi \(t = 0\) là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi \(v\left( t \right) = 160 - 9,8t\left( {m/s} \right)\). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất).

a) Sau \(t = 5\) giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bài 9 :

Một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) là

A. \(F\left( x \right) = 2\cos 2x\).

B. \(F\left( x \right) =  - \cos 2x\).

C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos 2x\).

D. \(F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x\).

Bài 10 :

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( 1 \right) = 16\) và \(\int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx}  = 4\). Khi đó, giá trị của f(3) bằng

A. 20.

B. 16.

C. 12.

D. 10.

Bài 11 :

Cho hàm số \(F(x) = {x^3} - 1,x \in \mathbb{R}\)và \(G(x) = {x^3} + 5,x \in \mathbb{R}\)

a) Cả hai hàm số F(x) và G(x) có phải nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2}\) trên \(\mathbb{R}\) hay không?

b) Hiệu F(x) - G(x) có phải là một hằng số C (không phụ thuộc vào x) hay không?

Bài 12 :

Cho hàm số \(F(x) = {x^3}\), \(x \in ( - \infty ; + \infty )\). Tính \(F'(x)\)

Bài 13 :

Hàm số \(F(x) = {x^3} + 5\) là nguyên hàm của hàm số:

A. \(f(x) = 3{x^2}\)

B. \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + 5x + C\)

C. \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + 5x\)

D. \(f(x) = 3{x^2} + 5x\)

Bài 14 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Tìm một hàm số \(F\left( x \right)\) sao cho \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Bài 15 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) có là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) không?

c) Giả sử \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\)?

Bài 16 :

Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2{e^{2x + 1}}\) trên \(\mathbb{R}\).

Bài 17 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

a) \(\int\limits_{a}^{b}{f''\left( x \right)dx}=f'\left( b \right)-f'\left( a \right)\).

b) \(\int\limits_{a}^{b}{f''\left( x \right)dx}=f\left( b \right)-f\left( a \right)\).

c) \(\int\limits_{a}^{b}{f''\left( x \right)dx}=f'\left( a \right)-f'\left( b \right)\).

d) \(\int\limits_{a}^{b}{f''\left( x \right)dx}=f\left( a \right)-f\left( b \right)\).

Bài 18 :

Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.

Cho \(K\) là một khoảng trên \(\mathbb{R}\); \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(K\); \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(K\).

a) Nếu \(F\left( x \right) = G\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

b) Nếu \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) = G\left( x \right)\).

c) \(\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right) + C,C \in \mathbb{R}\).

d) \(\int {f'\left( x \right)dx}  = F\left( x \right) + C,C \in \mathbb{R}\).

Bài 19 :

Cho \(\int {f(x)dx = \sin x + \cos x + C.} \) Tính \(f(\pi )\).

Bài 20 :

a) Các hàm số \({F_1}(x) = \sin x\), \({F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 \), \({F_3}(x) = \sin x - 2\) là những nguyên hàm của hàm số nào?

b) Vì sao hàm số \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\)? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

Bài 21 :

a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).

b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

Bài 22 :

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).

Bài 23 :

Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).

Bài 24 :

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) \(x{e^x}\) và \((x - 1){e^x}\);

b) \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) và \(\frac{{\ln x}}{x}\).

Bài 25 :

Tìm hàm số \(f(x)\), biết một nguyên hàm của \(f(x)\) là:

a) \(F(x) = x\sin x + \sqrt 2 \)

b) \(F(x) = {e^x} - \sqrt x \)

Bài 26 :

Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(K\) nếu

Bài 27 :

Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên khoảng \((0; + \infty )\)?

Bài 28 :

Hàm số \(F(x) = 2{x^9} + 1945\) là nguyên hàm của hàm số

Bài 29 :

Hàm số F(x) = cos3x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

Bài 30 :

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu