Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z - 10 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y + 2z - 3 = 0\).

Khoảng cách giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng

A. \(\frac{8}{3}\).

B. \(\frac{7}{3}\).

C. 3.

D. \(\frac{4}{3}\).

Bài 1 :

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + z + 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 3y + z + 5 = 0\)

a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 2 :

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 2 = 0,\left( Q \right):x + y + z + 6 = 0\). Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó. 

Bài 3 :

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - z = 0,\left( Q \right):x - y - 2z + 1 = 0\).

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 4 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z - 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( { - 1;1;0} \right)\).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Bài 5 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.

Bài 6 :

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): \(x - y - z - 1 = 0\), (Q): \(2x + y - z - 2 = 0\) và điểm \(A\left( { - 1;2;0} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 7 :

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {3;0; - 1} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng (OAB).

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất.

Bài 8 :

Cho hai mặt phẳng \(({P_1}):4x - y - z + 1 = 0\), \(({P_2}):8x - 2y - 2x + 1 = 0\).

a) Chứng minh rằng \(({P_1})//({P_2})\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1}),({P_2})\).

Bài 9 :

a) Cho hai mặt phẳng \(({P_1}):x + 2y + 3z + 4 = 0,({P_2}):x + y - z + 5 = 0\). Chứng minh rằng \(({P_1}) \bot ({P_2})\)

b) Cho mặt phẳng \((P):x - 2y - 2z + 1 = 0\) và điểm M(1;1;-6). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

Bài 10 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0;0;0), B(2;0;0), D(0;3;0), S(0;0;4) (hình 19).

a) Tìm tọa độ điểm C.

b) Viết phương trình mặt phẳng (SBD).

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).

Bài 11 :

Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A(50;0;0), D(0;20;0), B(4k;3k;2k) với k > 0 và mặt phẳng (CBEF) có phương trình z = 3.

a) Tìm tọa độ điểm B.

b) Lập phương trình mặt phẳng (AOBC).

c) Lập phương trình mặt phẳng (DOBE).

d) Chỉ ra một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (AOBC) và (DOBE).

Bài 12 :

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\) có phương trình tổng quát là \(\left( \alpha  \right):2x + 2y - 3z - 4 = 0\) và \(\left( \beta  \right):x + 4z - 12 = 0\).

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) trong số các điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\), \(N\left( {1;1;0} \right)\).

Bài 13 :

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\) có phương trình là \(\left( \alpha  \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\) và \(\left( \beta  \right):2x - 4y + 6z + 1 = 0\).

a) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên.

b) Cho điểm \(M\left( { - 1;0;0} \right)\). Hãy cho biết các mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\) có đi qua \(M\) không.

c) Giải thích tại sao \(\left( \alpha  \right)\) song song với \(\left( \beta  \right)\).

Bài 14 :

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có phương trình là \(\left( \alpha  \right):3x + 2y + z + 1 = 0\) và \(\left( \beta  \right):5x - 10y + 5z + 9 = 0\).

a) Chỉ ra hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \), \(\overrightarrow {{n_2}} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\).

b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \) và nêu nhận xét về hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\).

Bài 15 :

Cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\).

a) Chứng minh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).

Bài 16 :

Cho bốn điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right)\), \(B\left( {1;0;6} \right)\), \(C\left( {0;2; - 1} \right)\), \(D\left( {1;4;0} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\).

c) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).

Bài 17 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho điểm \(I\left( { - 3;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y - 4z + 1 = 0\).

a) Điểm \(I\left( { - 3;0;1} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

b) Vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

c) Nếu mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

d) Mặt phẳng \(\left( R \right)\) đi qua điểm \(I\) và song song với \(\left( P \right)\) có phương trình là: \(x - 3y - 4z - 7 = 0\).

Bài 18 :

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( {5;0;0} \right),B\left( {0;7;0} \right),C\left( {0;0;9} \right)\).

Bài 19 :

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):x + 2y - 3z + 5 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right): - 4x - 8y + 12z + 3 = 0\).

a) Chứng minh rằng \(\left( {{P_1}} \right)\parallel \left( {{P_2}} \right)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).

Bài 20 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) thoả mãn \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {90^ \circ }\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Chứng minh rằng

\(\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}\).

Bài 21 :

Cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\) và \(D\left( {1;2;3} \right)\). Chứng minh rằng \(A,B,C,D\) không đồng phẳng.

Bài 22 :

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right),D\left( {0;b;0} \right),S\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,b,c\) là các số dương (Hình 3).

a) Tìm toạ độ của điểm \(C\), trung điểm \(M\) của \(BC\), trọng tâm \(G\) của tam giác \(SCD\).

b) Lập phương trình mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

c) Tính khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Bài 23 :

Khi gắn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục \(Oz\). Biết rằng các vị trí \(A\left( {3;4;33} \right),D\left( {9;8;35} \right)\) lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimét?

Bài 24 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):x + 4y - 2z + 2 = 0,\left( {{P_2}} \right): - 2x + y + z + 3 = 0\).

a) Vectơ \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;4; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\).

b) Vectơ \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\).

c) \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0\) với \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).

d) Hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) vuông góc với nhau.

Bài 25 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - 2y - 2z + 9 = 0\) và điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right)\).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) đi qua A và song song với \(\left( \alpha  \right)\).

Bài 26 :

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 8 = 0\) và \(\left( Q \right):2x + 2y - z + 2 = 0\).

a) Chứng minh rằng \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Bài 27 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(P\left( {2;3;5} \right)\). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm P trên các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Bài 28 :

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z + 12 = 0\), \(\left( Q \right):4x + 2y + 4z - 6 = 0\).

a) Chứng minh \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Bài 29 :

Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.

Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( {3;2;2} \right),C\left( {4;3;5} \right)\).

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;1;1} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {4;2;4} \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;4;1} \right)\).

c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;4} \right)\).

d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Bài 30 :

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) với các điểm \(A'(3;2; - 5)\), \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), và \(C(0;2;1)\).

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng \(\alpha \): \(9x + 13y + 7z = 0\)

b) Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C').