Đề bài

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng \(PO \bot AB\).

b) Gọi C là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng BC//PO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác PAB, biết OA=3cm và OP=5cm.

Phương pháp giải

a) + Chứng minh \(PA = PB\) và PO là tia phân giác của góc APB.

+ Chứng minh tam giác PAB cân tại P, suy ra PO là đường trung trực của tam giác AP nên \(PO \bot AB\).

b) + Chứng minh C thuộc (O).

+ Chứng minh tam giác ABC vuông tại B. Do đó, \(BA \bot BC\). Mà \(PO \bot AB\)(cmt) nên BC//PO.

c) + Chứng minh \(PA \bot OA\).

+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAP vuông tại tính được PA, suy ra, \(PA = PB = 4cm\).

+ Gọi H là giao điểm của PO và AB. Theo a ta có: \(AH \bot OP\) và \(AB = 2AH\).

+ \(AH.OP = OA.PA\left( { = 2{S_{\Delta AOP}}} \right)\) nên \(AH = \frac{{OA.AP}}{{OP}}\) nên tính được AB.

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

a) Vì PA và PB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P của (O) nên \(PA = PB\), PO là tia phân giác của góc APB.

Vì \(PA = PB\) nên tam giác PAB cân tại P. Do đó, PO là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của tam giác ABP. Suy ra: \(PO \bot AB\).

b) Vì C là điểm đối xứng với A qua O nên \(OA = OC\). Do đó, C thuộc (O).

Vì \(OB = OC = OA = \frac{1}{2}AC\) nên tam giác BAC có trung tuyến BO có độ dài bằng nửa độ dài cạnh AC nên tam giác ABC vuông tại B. Do đó, \(BA \bot BC\). Mà \(PO \bot AB\)(cmt) nên BC//PO.

c) Vì PA tiếp xúc với (O) tại A nên \(PA \bot OA\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAP vuông tại A có: \(O{A^2} + A{P^2} = O{P^2}\) nên \(PA = \sqrt {O{P^2} - O{A^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\left( {cm} \right)\)

Do đó, \(PA = PB = 4cm\)

Gọi H là giao điểm của PO và AB. Theo a ta có: \(AH \bot OP\) và \(AB = 2AH\).

Ta có: \(AH.OP = OA.PA\left( { = 2{S_{\Delta AOP}}} \right)\) nên \(AH = \frac{{OA.AP}}{{OP}} = \frac{{3.4}}{5} = 2,4\left( {cm} \right)\).

Do đó, \(AB = 2AH = 2.2,4 = 4,8\left( {cm} \right)\).

Xem thêm : SBT Toán 9 - Kết nối tri thức

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Số tâm đối xứng của đường tròn là:

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Tâm đối xứng của đường tròn là:

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Chứng minh rằng nếu một điểm thuộc đường tròn (O) thì:

a) Điểm đối xứng với nó qua tâm O cũng thuộc (O).

b) Điểm đối xứng với nó qua một đường thẳng d tùy ý đi qua O cũng thuộc (O).

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Trở lại tình huống mở đầu, bằng cách gấp mảnh giấy hình tròn theo hai cách khác nhau, Oanh có thể tìm được tâm của hình tròn. Em hãy làm thử xem.

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

a) Vẽ đường thẳng \(d\) đi qua tâm \(O\) cắt đường tròn tại \(A,B\). So sánh \(OA\) và \(OB\) (Hình 7).

b) Giả sử \(M\) là một điểm tùy ý trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Trên tia đối của tia \(OM\), ta lấy điểm \(N\) sao cho \(ON = OM\). Điểm \(N\) có thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) hay không?

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Giả sử \(d\) là đường thẳng đi qua tâm \(O\) và \(M\) là một điểm tùy ý trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Kẻ \(MH \bot d\left( {H \in d} \right)\). Trên tia \(MH\) lấy điểm \(N\) sao cho \(H\) là trung điểm của \(MN\) (ta gọi điểm \(N\) là điểm đối xứng với điểm \(M\) qua đường thẳng \(d\)). Điểm \(N\) có thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) hay không?

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Đường tròn có đường kính AB. Xác định tâm đối xứng của đường tròn.

Xem lời giải >>

Bài 8 :

An gấp đôi tờ giấy hình tròn sao cho mép của hai nửa hình tròn trùng lên nhau, sau đó tiếp tục gấp đôi để xác định trung điểm của đường gấp đầu tiên (Hình 5.6). Bạn An khẳng định rằng giao điểm của các đường gấp sau khi mở giấy chính là tâm của hình tròn ban đầu. Em hãy giải thích vì sao?