Cho các biểu thức:

\(\dfrac{4}{5}x;\left( {\sqrt 2  - 1} \right)xy; - 3x{y^2};\dfrac{1}{2}{x^2}y;\dfrac{1}{x}{y^3}; - xy + \sqrt 2 ;\dfrac{{ - 3}}{2}{x^2}y;\dfrac{{\sqrt x }}{5}.\)

a)      Trong các biểu thức đã cho, biểu thức nào là đơn thức? Biểu thức nào không là đơn thức?

b)      Hãy chỉ ra hệ số và phần biến của mỗi đơn thức đã cho.

c)      Viết tổng tất cả các đơn thức trên để được một đa thức. Xác định bậc của đa thức đó.

Bài 1 :

Cho hai đa thức \(G = {x^2}y - 3xy - 3\) và \(H = 3{x^2}y + xy - 0,5x + 5\).

Hãy tính G+H và G-H.

Bài 2 :

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x=2 và y=-1.

\(K = \left( {{x^2}y + 2x{y^3}} \right) - \left( {7,5{x^3}{y^2} - {x^3}} \right) + \left( {3x{y^3} - {x^2}y + 7,5{x^3}{y^2}} \right)\)

Bài 3 :

Tính tổng và hiệu của hai đa thức \(P = {x^2}y + {x^3} - x{y^2} + 3\) và \(Q = {x^3} + x{y^2} - xy - 6\).

Bài 4 :

Rút gọn biểu thức:

a)      \(\left( {x - y} \right) + \left( {y - z} \right) + \left( {z - x} \right)\);

b)      \(\left( {2x - 3y} \right) + \left( {2y - 3z} \right) + \left( {2z - 3x} \right)\).

Bài 5 :

Cho hai đa thức \(A = 2{x^2}y + 3xyz - 2x + 5\) và \(B = 3xyz - 2{x^2}y + x - 4\).

a)      Tìm các đa thức A+B và A-B.

b)      Tính giá trị của các đa thức A và A+B tại x=0,5;y=-2 và z=1.

Bài 6 :

Cho hai đa thức:

\(A = 7xy{z^2} - 5x{y^2}z + 3{x^2}yz - xyz + 1;\\B = 7{x^2}yz - 5x{y^2}z + 3xy{z^2} - 2.\)

a)      Tìm đa thức C sao cho A-C=B;

b)      Tìm đa thức D sao cho A+D=B;

c)      Tìm đa thức E sao cho E-A=B;

Bài 7 :

Cho ba đa thức:

\(M = 3{x^3} - 4{x^2}y + 3x - y;N = 5xy - 3x + 2;P = 3{x^3} + 2{x^2}y + 7x - 1.\)

Tính M + N - P và M - N - P.

Bài 8 :

Gọi T là tổng, H là hiệu của hai đa thức \(3{x^2}y - 2x{y^2} + xy\) và \( - 2{x^2}y + 3x{y^2} + 1\). Khi đó:
A. \(T = {x^2}y - x{y^2} + xy + 1\) và \(H = 5{x^2}y - 5x{y^2} + xy - 1\).
B. \(T = {x^2}y + x{y^2} + xy + 1\) và \(H = 5{x^2}y - 5x{y^2} + xy - 1\)
C. \(T = {x^2}y + x{y^2} + xy + 1\) và \(H = 5{x^2}y - 5x{y^2} - xy - 1\)
D. \(T = {x^2}y + x{y^2} + xy - 1\) và \(H = 5{x^2}y + 5x{y^2} + xy - 1\)

Bài 9 :

Tại một công trình xây dựng, người ta dùng ba loại tấm kính chống nắng \(A\), \(B\) và \(C\) với các kích thước như Hình 1 (tính bằng m). Giá tiền các tấm kính được tính theo diện tích với đơn giá \(a\) đồng/\({m^2}\). Tại đây có hai lần nhập vật liệu như bảng sau:

a) Tính tổng số tiền mua kính của cả hai lần.

b) Số tiền lần 2 nhiều hơn lần 1 bao nhiêu?

Bài 10 :

Cho hai đa thức \(M = 1 + 3xy - 2{x^2}{y^2}\) và \(N = x - xy + 2{x^2}{y^2}\). Tính \(M + N\) và \(M - N\).

Bài 11 :

Tính:

a) \(x + 2y + \left( {x - y} \right)\)

b) \(2x - y - \left( {3x - 5y} \right)\)

c) \(3{x^2} - 4{y^2} + 6xy + 7 + \left( { - {x^2} + {y^2} - 8xy + 9x + 1} \right)\)

d) \(4{x^2}y - 2x{y^2} + 8 - \left( {3{x^2}y + 9x{y^2} - 12xy + 6} \right)\)

Bài 12 :

Tính giá trị của biểu thức:

a) \(3{x^2}y - \left( {3xy - 6{x^2}y} \right) + \left( {5xy - 9{x^2}y} \right)\) tại \(x = \frac{2}{3}\), \(y =  - \frac{3}{4}\)

b) \(x\left( {x - 2y} \right) - y\left( {{y^2} - 2x} \right)\) tại \(x = 5\), \(y = 3\)

Bài 13 :

Cho đa thức \(P = 3{x^2}y - 2x{y^2} - 4xy + 2\).

a) Tìm đa thức \(Q\) sao cho \(Q - P =  - 2{x^3}y + 7{x^2}y + 3xy\)

b) Tìm đa thức \(M\) sao cho \(P + M = 3{x^2}{y^2} - 5{x^2}y + 8xy\)

Bài 14 :

Với ba đa thức: \(A = {x^2} - 2{\rm{x}}y + {y^2};B = 2{{\rm{x}}^2} - {y^2};C = {x^2} - 3{\rm{x}}y\)(ở trong ví dụ 3). Hãy tính:

a) B – C

b) (B – C) + A

Bài 15 :

Cho hai đa thức \(P = 4x{y^2} + 6x - 3\) và \(Q = 2x{y^2} - 5x + 1\)

1. Viết các biểu thức \(P + Q\) và \(P - Q\)
2. Thu gọn \(P + Q\) và \(P - Q\)

Bài 16 :

Tính tổng và hiệu của hai đa thức \(P = x{y^3} - {x^3} + 2x - 3y\) và \(Q = 2x{y^3} + 6{x^3} - 7x + 1\)

Bài 17 :

Cho hai đa thức \(P = {x^3}{y^4} - 4{x^2}{y^2} - 4x + 6\)vvà \(Q = 5{x^2}{y^2} - 3{x^3}{y^4} + x - 1\). Tính \(P + Q\) và \(P - Q\).

Bài 18 :

Cho hai đa thức \(A = {x^2} - 3xy + 2{y^2}\)và \(B = {y^2} + 2xy + {x^2} + 1\)

a)     Tìm đa thức \(C\) sao cho \(C = A + B\)

b)    Tìm đa thức \(D + A = B\)

Bài 19 :

Cho hai đa thức: \(A = {x^7} - 4{x^3}{y^2} - 5xy + 7;B = {x^7} + 5{x^3}{y^2} - 3xy - 3\)

a) Tìm đa thức \(C\) sao cho \(C = A + B\)

b) Tìm đa thức \(D\) sao cho \(A + D = B\)

Bài 20 :

Tính:

a) \(7x + \left( { - 3xy + 5x} \right)\);

b) \(4x - 3y - \left( {3 + 3x - y} \right)\);

c) \(2xy - 4xy - \left( {y - 3xy} \right)\);

d) \(\left( {{x^2}y - 3x{y^2} - {y^2}} \right) + \left( {5x{y^2} - 4{y^2} + 5{x^2}y} \right)\).

Bài 21 :

Tính:

a) \(2a + 4b + \left( { - 4b + 5a} \right) - \left( {6a - 9b} \right)\);

b) \(6a - \left[ {b + 3a - \left( {4a - b} \right)} \right]\).

Bài 22 :

Tìm tổng \(P + Q\) và hiệu \(P - Q\) của hai đa thức:

\(P = 4{x^2}{y^2} - 3x{y^3} + 5{x^3}y - xy + 2x - 3\)

\(Q =  - 4{x^2}{y^2} - 4x{y^3} - {x^3}y + xy + y + 1\)

Bài 23 :

Cho ba đa thức:

\(M = 3{x^3} - 5{x^2}y + 5x - 3y\)

\(N = 4xy - 4x + y\)

\(P = 3{x^3} + {x^2}y + x + 1\).

Tính \(M + N - P\) và \(M - N - P\).

Bài 24 :

Tính tổng và hiệu của hai đa thức \(P = {x^2}y + {x^3} - x{y^2} + 3\) và \(Q = {x^3} + x{y^2} - xy - 6\) .

Bài 25 :

Cho hai đa thức \(A = 2{x^2}y + 3xyz - 2x + 5\) và \(B = 3xyz - 2{x^2}y + x - 4\) .

a) Tìm các đa thức \(A + B\) và \(A - B\) ;

b) Tính giá trị của các đa thức A và \(A + B\) tại \(x = 0,5;y = - 2\) và \(z = 1\) .

Bài 26 :

Cho hai đa thức:

\(P = 4{x^3}y{z^2} - 3{x^2}y - 2{x^3}y{z^2} + {x^2}y - 2xy + y + 5\);

\(Q =  - {x^3}y{z^2} - 2{x^2}y + 3 + 3{x^3}y{z^2} + xy - y + 2\).

a) Thu gọn và xác định bậc của mỗi đa thức P và Q.

b) Xác định bậc của mỗi đa thức \(P + Q\) và \(P - Q\).

Bài 27 :

Cho đa thức \(P = 5{x^2}y - 2x{y^2} + xy - x + y - 2\).

a) Tìm đa thức Q, biết rằng \(P + Q = \left( {x + y} \right)\left( {2xy + 2{y^2} - 1} \right)\).

b) Tìm đa thức R, biết rằng \(P - R =  - xy\left( {x - y} \right)\).

Bài 28 :

Cho hai đa thức: \(M = 23{x^{23}}y - 22x{y^{23}} + 21y - 1\) và \(N =  - 22x{y^3} - 42y - 1\)

a) Tính giá trị của mỗi đa thức \(M,N\) tại \(x = 0;y =  - 2\)

b) Tính \(M + N;M - N\)

c) Tìm đa thức \(P\) sao cho \(M - N - P = 63y + 1\)

Bài 29 :

Cho hai đa thức

\(A = 7xy{z^2}-5x{y^2}z + 3{x^2}yz-xyz + 1;\\B = 7{x^2}yz-5x{y^2}z + 3xy{z^2}-2.\)

a) Tìm đa thức C sao cho \(A-C = B\) .

b) Tìm đa thức D sao cho \(A + D = B\) .

c) Tìm đa thức E sao cho \(E-A = B\) . 

Bài 30 :

Từ một miếng bìa, người ta cắt ra hai hình tròn có bán kính x centimét và y centimét. Tìm biểu thức biểu thị diện tích phần còn lại của miếng bìa, nếu biết miếng bìa có hình dạng gồm hai hình vuông ghép lại và có kích thước (centimét) như hình bên. Biểu thức đó có phải là một đa thức không? Nếu phải thì đó là đa thức bậc mấy?