Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 3m + 2.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác đều là:
-
A.
$m = \sqrt[3]{3}$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = - \sqrt[3]{3}$
-
D.
$m = 3$
Phương pháp giải
- Bước 1: Tính $y'$. Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt
- Bước 2: Tìm tọa độ ba điểm cực trị đó. Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ (Hàm bậc bốn trùng phương luôn có một điểm cực trị có hoành độ bằng 0). Khi đó tam giác ABC đều $ \Leftrightarrow AB = BC =CA$
- Bước 3: Kết luận.
Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn
\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4mx\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt m \,\, (1)\end{array} \right.\end{array}\)
Hàm số \(y=f(x)\) có 3 cực trị
\( \Leftrightarrow y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow (1){\rm{\;}}\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\( \Leftrightarrow \) \(m > 0\).
Gọi 3 điểm cực trị của hàm số lần lượt là \(A(0;a);B(-\sqrt m;b);C(\sqrt m;c)\). Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ + )x = 0 \Rightarrow A\left( {0;3m + 2} \right)}\\
{ + )x = - \sqrt m {\rm{\;}} \Rightarrow y = {{\left( { - \sqrt m } \right)}^4} - 2m.{{\left( { - \sqrt m } \right)}^2} + 3m + 2}\\
{ = {m^2} - 2{m^2} + 3m + 2}\\
{ = {\rm{\;}} - {m^2} + 3m + 2 \Rightarrow B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 3m + 2} \right)}\\
{ + )x = \sqrt m {\rm{\;}} \Rightarrow y=- {m^2} + 3m + 2\\ \Rightarrow C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 3m + 2} \right)}
\end{array}\)
Ta luôn có $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ đều
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( { - \sqrt m } \right)^2} + {\left( { - {m^2}} \right)^2} = {\left( {2\sqrt m } \right)^2} + {0^2}\\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m\\ \Leftrightarrow {m^4} - 3m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \sqrt[3]{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Kết hợp điều kiện \(m > 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + x - 1$ có cực đại và cực tiểu.
Xem lời giải >>
Bài 2 :
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = - {x^4} + 2m{x^2}$ có $3$ điểm cực trị ?
Xem lời giải >>
Bài 3 :
Cho hàm số $y = 2{x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} - 2.$ Tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có $1$ điểm cực trị là:
Xem lời giải >>
Bài 4 :
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$
Xem lời giải >>
Bài 5 :
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 2$ đạt cực tiểu tại $x=1$.
Xem lời giải >>
Bài 6 :
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 3m + 2} \right)x + 3$ có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi:
Xem lời giải >>
Bài 7 :
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (2m - 4)x - 3.$ Tìm $m$ để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10$
Xem lời giải >>
Bài 8 :
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 3mx + 1.$ Tìm $m$ để hàm số có $2$ điểm cực trị nhỏ hơn $2$
Xem lời giải >>
Bài 9 :
Tìm $m$ để $({C_m})$ : $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2$ có $3$ điểm cực trị là $3$ đỉnh của một tam giác vuông cân.
Xem lời giải >>
Bài 10 :
Cho hàm số $y = {x^4} + 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng $4\sqrt 2 $ là
Xem lời giải >>
Bài 11 :
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + m.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc ${120^o}$ là:
Xem lời giải >>
Bài 12 :
Hãy lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3m{x^2} - 3x$
Xem lời giải >>
Bài 13 :
Cho hàm số $y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx.$ Tìm $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A, B$ sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc với $d:\,x - y - 9 = 0$
Xem lời giải >>
Bài 14 : 
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $R$ và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số $g\left( x \right)$ xác định theo $f\left( x \right)$ có đạo hàm $g'\left( x \right) = f\left( x \right) + m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)$ có duy nhất một cực trị.
Xem lời giải >>
Bài 15 :
Cho hàm số $y = {x^3} + 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 6$ với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$.
Xem lời giải >>
Bài 16 :
Cho hàm số $y = 2{x^3} + m{x^2} - 12x - 13$ với \(m\) là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn khoảng cách từ chúng đến trục tung bằng nhau.
Xem lời giải >>
Bài 17 :
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^2} - 2\) với \(m\) là tham số thực. Tìm giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A,{\rm{ }}B\) sao cho \(I\left( {1;0} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
Xem lời giải >>
Bài 18 :
Gọi \({m_0}\) là giá trị của \(m\) thỏa mãn đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + mx - 5}}{{{x^2} + 1}}\) có hai điểm cực trị \(A,B\) sao cho đường thẳng \(AB\) đi qua điểm\(I\left( {1; - 3} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem lời giải >>
Bài 19 :
Hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m} \right|\) (với \(m\) là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
Xem lời giải >>
Bài 20 :
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + mx + 2m}}{{x + 1}}\) có hai điểm cực trị \(A,\,\,B\) và tam giác \(OAB\) vuông tại O. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là:
Xem lời giải >>