Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:

a) \(AC \bot \left( {SHK} \right)\).

b) \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).

Phương pháp giải

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

a) Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, \(HK//BD\). Mà \(AC \bot BD\) (do ABCD là hình vuông) nên \(AC \bot HK\)

Vì \(AC \bot HK,SH \bot AC\left( {do\;AC \subset \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right)\)

b) Gọi I là giao điểm của CK và DH.

Tam giác AHD và tam giác DKC có: \(AH = DK,\widehat {HAD} = \widehat {KDC},AD = DC\)

Do đó, \(\Delta AHD = \Delta DKC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {HDA} = \widehat {KCD}\)

Ta có: \(\widehat {DKC} + \widehat {KCD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DKC} + \widehat {HDA} = {90^0}\)

Ta có: \(\widehat {DIK} = {180^0} - \left( {\widehat {DKC} + \widehat {HDA}} \right) = {90^0} \Rightarrow DH \bot CK\)

Mà \(SH \bot \left( {ABCD} \right),CK \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot CK\)

Ta có: \(DH \bot CK,SH \bot CK\), SH và DH nằm trong mặt phẳng (SHD) và cắt nhau tại H nên \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Chọn đáp án đúng.

Với a là số thực khác 0 thì:

Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng: a) \(AC \bot \left( {SHK} \right)\). b) \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).

Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:

a) \(AC \bot \left( {SHK} \right)\).

b) \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).