Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
a) Tính tổng \(A = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + ... + \frac{1}{{45}}\).
b) Chứng minh \(M = \frac{{n - 1}}{{n - 2}}\,\,\,\left( {n \in {\rm Z}\,;\,n \ne 2} \right)\) là phân số tối giản.
Phương pháp giải :
a) Nhân cả tử và mẫu của các phân số trong A với 2.
Rút 2 ra ngoài, biến đổi các phân số \(\frac{1}{{a\left( {a + 1} \right)}}\) thành \(\frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}}\) (vì \(\frac{1}{{a\left( {a + 1} \right)}} = \frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}}\))
Tính A.
b) Để chứng minh phân số tổi giản, ta chứng minh ƯCLN của tử số và mẫu số là 1.
Lời giải chi tiết :
a) Ta có \(A = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + ... + \frac{1}{{45}} = \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{20}} + \frac{2}{{30}} + ... + \frac{2}{{90}}\)
\(\begin{array}{l} = 2\left( {\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{4.5}} + \frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{9.10}}} \right)\\ = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}}} \right)\end{array}\)
\( = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{10}}} \right) = 2.\frac{4}{{10}} = \frac{4}{5}\).
Vậy \(A = \frac{4}{5}.\)
b) Gọi ƯCLN\(\left( {n - 1\,;\,n - 2} \right) = d\) suy ra \(n - 1 \vdots d\,\,\,,\,\,n - 2 \vdots d\)
suy ra \(\left( {n - 1} \right) - \left( {n - 2} \right) \vdots d\)suy ra \(1 \vdots d \Rightarrow d = 1\) với mọi \(n\)
Vậy với mọi \(n \in {\rm Z}\) thì \(M = \frac{{n - 1}}{{n - 2}}\) là phân số tối giản.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Thực hiện các phép tính (tính hợp lí nếu có thể):
a) A = \(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{3}\)
b) \(B = \;6,3 + \left( { - {\rm{ }}6,3} \right) + 4,9\)
c) \(C = \frac{{ - 3}}{7} + \frac{5}{{14}} - \frac{4}{7} + \frac{3}{{12}} + \frac{9}{{14}}\)s
Bài 2 :
Tìm x, biết: \(\)
a) \(x - 5,01 = 7,02 - 3\;\)
b) \(\,\frac{1}{5} - \left( {\frac{2}{3} - x} \right) = \frac{{ - 3}}{5}\)
Bài 3 :
Một đám đất hình chữ nhật có chiều rộng 60m, chiều dài bằng \(\frac{4}{3}\) chiều rộng. Người ta để \(\frac{7}{{12}}\)diện tích đám đất đó trồng cây, \(30\% \) diện tích còn lại đó để đào ao thả cá. Diện tích ao bằng bao nhiêu phần trăm diện tích cả đám đất?
Bài 4 :
Cho \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau. Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(A\) sao cho \(OA = 6cm\). Trên tia \(Oy\) lấy điểm \(B\) sao cho \(OB = 3cm\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(OA,OB\).
a) Tính \(OM,{\rm{ }}ON\)?
b) Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\)?
Bài 14 :
Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
Qua 2 điểm phân biệt ta vẽ được: