Cho \(\left( {{d_1}} \right):y = x - 4\) và \(\left( {{d_2}} \right):y =  - 3x + 2\).

a) Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\).

c) Tìm m để \(\left( {{d_3}} \right):y = \left( {m - 2} \right)x + 3m + 12\) đi qua giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\).

a) Vẽ \(\left( {{d_1}} \right):y = x - 4\)

+ Cho x = 0 thì y = 0 – 4 = -4. Ta được điểm A(0; -4).

+ Cho y = 0 thì 0 = x – 4 => x = 4. Ta được điểm B(4; 0).

Đường thẳng AB chính là đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\).

Vẽ \(\left( {{d_2}} \right):y =  - 3x + 2\)

+ Cho \(x = 0\) thì \(y =  - 3.0 + 2 = 2\). Ta được điểm \(C\left( {0;2} \right)\).

+ Cho \(y = 0\) thì \(0 =  - 3x + 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\). Ta được điểm \(D\left( {\frac{2}{3};0} \right)\).

Đường thẳng CD chính là đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\).

Ta có đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\):

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:

\(\begin{array}{l}x - 4 =  - 3x + 2\\x + 3x = 2 + 4\\4x = 6\\x = \frac{3}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow y = \frac{3}{2} - 4 =  - \frac{5}{2}\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(E\left( {\frac{3}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\).

c) Vì \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) nên \(E\left( {\frac{3}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right) \in \left( {{d_3}} \right)\).

Thay tọa độ điểm E vào hàm số \(y = \left( {m - 2} \right)x + 3m + 12\), ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{ - 5}}{2} = \left( {m - 2} \right).\frac{3}{2} + 3m + 12\\\frac{{ - 5}}{2} = \frac{3}{2}m - 3 + 3m + 12\\\frac{9}{2}m =  - \frac{{23}}{2}\\ \Rightarrow m =  - \frac{{23}}{9}\end{array}\)

Vậy \(m = \frac{{ - 23}}{9}\) thì \(\left( {{d_3}} \right):y = \left( {m - 2} \right)x + 3m + 12\) đi qua giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\).