Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\,\;khi\;x > 1\\mx + 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 1\;\end{array} \right.$ . Tìm m để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục: Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Khi $x \in \left( { - \infty ;1} \right)$ : Hàm số $f\left( x \right) = mx + 3$ liên tục trên $\left( { - \infty ;1} \right)$ .

Khi $x \in \left( {1; + \infty } \right)$ : Hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}$ liên tục trên $\left( {1; + \infty } \right)$ .

Tại $x = 1$ :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1 - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{3}{3} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 3} \right) = m + 3$ , $f\left( 1 \right) = m + 3$

Hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow$ hàm số f(x) liên tục tại $x = 1$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

Tức là: $m + 3 = 1 \Leftrightarrow m = - 2$

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Xét góc lượng giác $\left( {OA,OM} \right) = \alpha$ , trong đó M là điểm không nằm trên các trục tọa độ Ox và Oy. Khi đó, M thuộc góc phần tư nào để $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ trái dấu?

Cho hàm số f(x)={1x−1−3x3−1khix>1mx+3khix≤1f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\,\;khi\;x > 1\\mx + 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 1\;\end{array} \right.. Tìm m để hàm số liên tục trên R\mathbb{R}.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\,\;khi\;x > 1\\mx + 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 1\;\end{array} \right.$ . Tìm m để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ .