Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)(\(\widehat A < 90^\circ \)). Kẻ \(BD \bot AC\)tại \(D\), kẻ \(CE \bot AB\)tại \(E\).
a) Chứng minh: \(\Delta ADE\)cân.
b) Chứng minh: \(DE//BC\).
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Chứng minh: \(IB = IC\).
d) Chứng minh: \(AI \bot BC\).
Phương pháp giải :
a) Chứng minh AD = AE nên tam giác ADE cân.
b) Chứng minh \(\widehat {AED} = \widehat {ABC}\) (hai góc đồng vị) nên DE // BC.
c) Chứng minh tam giác BIC cân tại I nên IB = IC.
d) Chứng minh A và I cùng thuộc đường trung trực của BC nên \(AI \bot BC\).
Lời giải chi tiết :
a) Xét \(\Delta ADB\)và \(\Delta AEC\), có:
\(\widehat A\): chung
\(AB = AC\)(vì \(\Delta ABC\)cân tại \(A\))
\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \)(vì \(BD \bot AC\)tại \(D\), \(CE \bot AB\) tại \(E\))
Suy ra \(\Delta ADB = \Delta ACE\)(cạnh huyền-góc nhọn).
Suy ra\(AD = AE\)(2 cạnh tương ứng).
Vậy \(\Delta ADE\)cân tại \(A\).
b) Vì \(\Delta ABC\)cân tại \(A\) (gt)
Ta có: \(\widehat {ABC} = \frac{{{{180}^{\rm{o}}} - \widehat A}}{2}\) (1)
Lại có: \(\Delta AED\) cân tại \(A\) (câu a)
Nên \(\widehat {AED} = \frac{{{{180}^{\rm{o}}} - \widehat A}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {ABC}\)
Mà \(\widehat {AED}\) và \(\widehat {ABC}\) ở vị trí đồng vị.
Vậy \(DE//BC\).
c) Có tia \(BD\) nằm giữa hai tia \(BA,BC\).
Suy ra \(\widehat {ABD} + \widehat {DBC} = \widehat {ABC}\)
Suy ra \(\widehat {DBC} = \widehat {ABC} - \widehat {ABD}\)
Tương tự, có:
\(\widehat {ECB} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}\)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\)cân tại \(A\))
\(\widehat {ADB} = \widehat {ACE}\) (vì \(\Delta ADB = \Delta AEC\))
Suy ra \(\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\)
Vậy \(\Delta IBC\) cân tại \(I\).
Suy ra \(IB = IC\)
d) Có: \(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\)cân tại \(A\))
Do đó\(A\) thuộc đường trung trực của \(BC\)
Lại có: \(IB = IC\)(câu c)
Suy ra \(I\) thuộc đường trung trực của \(BC\)
Suy ra \(AI\) là đường trung trực của \(BC\)
Suy ra \(AI \bot BC\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Thực hiện phép tính:
a) \(\frac{{ - 7}}{5}.\left( {\frac{{15}}{{14}} + \frac{5}{7}} \right) + \left| {\frac{{ - 7}}{2}} \right|\).
b) \(\frac{1}{{13}} + \left( {\frac{{ - 5}}{{18}} - \frac{1}{{13}} + \frac{9}{{25}}} \right) - \left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} - \frac{{\sqrt {25} }}{{18}} + \frac{{19}}{{11}}} \right]\).
Bài 2 :
Ông Newton gửi tiết kiệm 500 triệu đồng vào một ngân hàng theo thể thức kì hạn một năm. Hết thời hạn một năm, ông nhận được cả vốn lần lãi là 534 triệu đồng. Tính lãi suất ngân hàng theo thể thức gửi tiết kiệm này.
Bài 3 :
Bảng sau thống kê điểm thi môn Toán của lớp 7A:
Tính điểm thi trung bình môn Toán của lớp 7A?
Bài 4 :
Tìm hiểu về sở thích đối với môn bơi lội của 5 bạn học sinh một trường Trung học cơ sở được cho bởi bảng thống kê sau:
Hãy phân loại dữ liệu trong bảng thống kê theo hai tiêu chí định tính và định lượng. Tính độ tuổi trung bình của các bạn được điều tra.
Bài 6 :
Cho các số \(\frac{2}{{ - 5}};\,\frac{{ - 3}}{{ - 4}} ;\,\frac{5}{7};\,\sqrt 2 ;\,\frac{{ - 9}}{{11}}\). Các số hữu tỉ dương là:
Bài 7 :
Cho biểu thức \({\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^6}:{\left( {\frac{4}{9}} \right)^2}\). Kết quả phép tính ở dạng lũy thừa là:
Bài 8 :
Cho 2 số thực a và b với \(a > 0\) và \(b < 0\). Giá trị tuyệt đối của tích a.b là:
Bài 10 :
Cho các số: \(\frac{2}{3};\,\frac{{ - 3}}{5};\,\frac{7}{{20}};\,\frac{5}{{22}};\,\frac{1}{{ - 8}};\,\frac{\pi }{2}\). Các số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn là:
Bài 13 :
Cho \(\Delta MNP\) và \(\Delta MNQ\) có \(MP = MQ\), \(\widehat {PMN} = \widehat {QMN} = 90^\circ \). Cần bổ sung thêm điều kiện nào để hai tam giác bằng nhau?
Bài 14 :
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 70^\circ ;\widehat B = 55^\circ \). Ta có