Cho hình thang $ABCD\,\left( {AB // CD} \right)$ . Một đường thẳng song song với $AB$ cắt các cạnh bên $AD,\,BC$ theo thứ tự ở $E,\,F$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

$\left. \begin{array}{l}AB // CD\\EF // CD\end{array} \right\} \Rightarrow AB // EF$

Gọi $G$ là giao điểm của $EF$ và $AC$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EG // CD\\GF // AB\end{array} \right.$

Xét tam giác $ACD$ có $EG // CD$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{DE}}{{AD}} = \frac{{CG}}{{AC}}$ (1)

Xét tam giác $ABC$ có $FG // AB$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{CG}}{{AC}} = \frac{{CF}}{{BC}}$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow \frac{{DE}}{{AD}} = \frac{{CF}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{DE}}{{AD}} + \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{CF}}{{BC}} + \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{CF + BF}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1$