Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 12 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số: \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

Lời giải chi tiết:

Với \(m=2\) hàm số đã cho có dạng: \(y={x^4} - 3{x^2} + 2\)

Tập xác định: \(D=\mathbb R\)

\(\eqalign{
& y' = 4{x^3} - 6x \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow x\left( {4{x^2} - 6} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \frac{6}{4}\end{array} \right.\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x = {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr x = - {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\left( { - {{\sqrt 6 } \over 2};0} \right)\) và \(\left( {{{\sqrt 6 } \over 2}; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\left( { - \infty ; - {{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\) và \(\left( {0;{{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\)

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,\,y(0)=2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {{\sqrt 6 } \over 2}\) và \(x =  - {{\sqrt 6 } \over 2}\), \(y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 2}} \right) =  - {1 \over 4}\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;2)\)

Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm: \(\left( { - \sqrt 2 ;0} \right),\left( { - 1;0} \right),\) \(\left( {1;0} \right),\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\)

Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

LG b

Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục là nghiệm phương trình 

\({x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr 
{x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và \(m \ne 1\)

Khi đó (1) có 4 nghiệm: \(x =  - 1;\,x = 1;\,x =  - \sqrt m ;\,x = \sqrt m \)

* \( - \sqrt m  <  - 1 < 1 < \sqrt m \)

(C) cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(\sqrt m  - 1 = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow m = 9\)

* \( - 1 <  - \sqrt m  < \sqrt m  < 1\)

(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(1 - \sqrt m  = \sqrt m  - \left( { - \sqrt m } \right) = 2\sqrt m \)

Vậy m= 9 hoặc \(m = {1 \over 9}\).

Cách khác:

Đặt t=x2, điều kiện t≥0.

Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình:

x4-(m+1) x2+m=0 (1)

<=> t2-(m+1)t+m=0 (2)

Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại bốn điểm tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dai bằng nhau, tức 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.

<=> Phương trình (2) có 2 nghiệm dương t1,t2 (với t1 < t2) thõa mãn điều kiện:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{t_2}}  - \sqrt {{t_1}}  = \sqrt {{t_1}}  - \left( { - \sqrt {{t_1}} } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}}  = 3\sqrt {{t_1}} \\ \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\end{array}\)

Điều kiện để (2) có 2 nghiệm dương phân biệt là:

Kết hợp với điều kiện (*), vậy với m = 9 hoặc m = 1/9 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm, tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.

HocTot.Nam.Name.Vn

  • Bài 76 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. b) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số

  • Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1. b) Chứng minh rằng với mọi , các đường cong đều đi qua hai điểm cố định A và B.

  • Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đồ thị (H) của hàm số . b) Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. c) Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

  • Bài 79 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

  • Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó. c) Gọi là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

close