Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học

Bài 7 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên R

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2x + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Lời giải chi tiết

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = - 2\sin 2x - 2 \\= - 2\left( {\sin 2x + 1} \right)\\
Do\,\,- 1 \le \sin 2x \le 1 \\\Rightarrow \sin 2x + 1 \ge 0,\forall x\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = - 2\left( {\sin 2x + 1} \right) \le 0,\forall x
\end{array}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1\) \( \Leftrightarrow 2x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\) \(\Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z\)

Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \(\left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ; - {\pi \over 4} + (k+1)\pi } \right]\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

HocTot.Nam.Name.Vn