Bài 68 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 12 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

LG a

\(\tan x > x,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\);

Phương pháp giải:

Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \tan x - x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 \) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

\(0 < {\cos ^2}x < 1\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 1 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\)  \( \Rightarrow f'(x) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Do đó hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) 

Từ đó: \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right)=0,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) \( \Leftrightarrow \tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \tan x > x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

LG b

\(\tan x > x + {{{x^3}} \over 3},\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 -x^2\) \(= {\tan ^2}x - {x^2} \) \( = \left( {\tan x - x} \right)\left( {\tan x + x} \right)\)

Ta có:

+) \(\tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) (câu a)

+) \(\tan x + x > 0, \forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) vì trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(\tan x\) và \(x\) đều dương.

Do đó \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Nên hàm số \(f\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và khi đó 

\(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right) \)

\(\Rightarrow \tan x > x + {{{x^3}} \over 3}\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

HocTot.Nam.Name.Vn

  • Bài 69 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

    Xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

  • Bài 70 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

    Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích V cho trước. Tìm bán kính đáy r và chiều cao của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.

  • Bài 71 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhât.

  • Bài 72 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Chứng minh rằng phương trình f(x) =0 có ba nghiệm phân biệt.

  • Bài 73 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

    Cho hàm số a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu. b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: có ba nghiệm phân biệt. c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:

close