Bài 55 trang 80 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hình $51$:

Chứng minh ba điểm $B, C, D$ thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh $\widehat{ADB}+ \widehat{ADC} = {180^0}$

Lời giải chi tiết

Nối $BD, AD$ và $CD$.

Từ hình vẽ ta có:

$DK$ là đường trung trực của $AC$ suy ra:  $AD = CD$ (theo định lí)    (1)

$DI$ là đường trung trực của $AB$ suy ra:  $BD = AD$ (theo định lí)      (2)

Từ (1) và (2) ta có: $BD = AD = CD$

Xét $ΔADK$ và $ΔCDK$ có:

+)  $AD = CD$ (chứng minh trên)

+)  $DK$ chung

+)  $AK = KC$ (giả thiết)

Vậy $ΔADK = ΔCDK$ (c.c.c)

$\Rightarrow$ $\widehat{ADK}= \widehat{CDK}$ (hai góc tương ứng)

hay $DK$ là tia phân giác của $\widehat{ADC}$

$\Rightarrow$ $\widehat{ADK}= \dfrac{1}{2}\widehat{ADC}$

Xét $∆ADI$ và $∆BDI$ có:

+) $DI$ chung

+) $AD=BD$ (chứng minh trên)

+) $AI=BI$ (giả thiết)

Vậy $∆ADI = ∆BDI$ (c.c.c)

$\Rightarrow$ $\widehat{ADI}= \widehat{BDI}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow$ $DI$ là tia phân giác của $\widehat{ADB}$

$\Rightarrow$ $\widehat{ADI} = \dfrac{1}{2}\widehat{ADB}$

Vì $AC // DI$ ( cùng vuông góc với $AB$) mà $DK ⊥ AC$ 

$\Rightarrow DK ⊥ DI$

hay $\widehat{ADK}$ + $\widehat{ADI} = {90^0}$

Do đó  $\dfrac{1}{2}\widehat{ADC} + \dfrac{1}{2} \widehat{ADB} = {90^0}$

$\Rightarrow\widehat{ADC} + \widehat{ADB}= {180^0}$

Vậy $B, D, C$ thẳng hàng (điều phải chứng minh).

HocTot.Nam.Name.Vn