Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học

Bài 5 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb R\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in\mathbb R\)

Chú ý:

\(a{x^2} + bx + c \ge 0\left( {a \ne 0} \right),\forall x \in R \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

Tập xác định \(D = \mathbb R\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} + 2ax + 4\);

\(\Delta ' = {a^2} - 4\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in\mathbb R\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr
{a^2} - 4 \le 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow - 2 \le a \le 2\)

Vậy \( - 2 \le a \le 2\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán

HocTot.Nam.Name.Vn