Bài 42 trang 73 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Gợi ý : Trong $∆ABC$, nếu $AD$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài $AD$ một đoạn $D{A_1}$ sao cho $D{A_1}= AD.$

Lời giải chi tiết

Gọi $AD$ là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc $A$ trong $ΔABC.$  Ta chứng minh  $∆ABC$ cân tại $A.$

Kéo dài $AD$ một đoạn $D{A_1}= AD.$

Xét $∆ADC$ và $∆{A_1}DB$ ta có:

+) $DC = DB$ (do $AD$ là trung tuyến)

+) ${ \widehat{D}}_1 = {\widehat{D}}_2$ ($2$ góc đối đỉnh)

 +) $AD = D{A_1}$ (do cách vẽ)

Vậy $∆ADC =  ∆{A_1}DB$ (c.g.c)

$\Rightarrow AC = {A_1}B$( 2 cạnh tương ứng)(1); $\widehat{DAC}= \widehat{DA_1B}$ ( 2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{BAD}= \widehat{DAC}$ (Vì $AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$)

$\Rightarrow$ $\widehat{BAD}=\widehat{DA_1B}$

$\Rightarrow$ Tam giác $AB{A_1}$ cân tại $B$ 

$\Rightarrow AB = {A_1}B$           (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $AB = AC$.

Vậy $∆ABC$ cân tại $A.$

Vậy: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân (đpcm)