Bài 34 trang 71 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho góc $xOy$ khác góc bẹt. Trên tia $Ox$ lấy hai điểm $A$ và $B$, trên tia $Oy$ lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $OA = OC, OB = OD.$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC.$ Chứng minh rằng:

a) $BC = AD$

b) $IA = IC, IB = ID$

c) Tia $OI$ là tia phân giác của góc $xOy$.

Lời giải chi tiết

a) Xét $∆AOD$ và  $∆COB$ có: 

+) $OA = OC$ (giả thiết)

+) $OD = OB$ (giả thiết)

+) $\widehat{xOy}$ là góc chung

Vậy $∆AOD =  ∆COB$ (c.g.c)

$\Rightarrow$ $AD = BC$ (hai cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh).

b) Vì $∆AOD =  ∆COB$ (câu a) nên $\widehat{D} = \widehat{B}$ và $\widehat{C_1} = \widehat{A_1}$ ( 2 góc tương ứng)

Ta có: $OA + AB = OB$ $\Rightarrow AB = OB - OA = OD - OC = CD$

Hay $AB=CD$ 

Ta có:  $\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = 180^o$ ($2$ góc kề bù) 

$\Rightarrow$ $\widehat{A_2} = 180^o - \widehat{A_1} = 180^o - \widehat{C_1} =  \widehat{C_2}$

Xét $∆AIB$ và  $∆CID$ ta có:

+) $AB = CD$ (chứng minh trên)

+) $\widehat{B} = \widehat{D}$ (chứng minh trên)

+) $\widehat{A_2} = \widehat{C_2}$ (chứng minh trên)

Vậy $∆AIB = ∆CID$ (g.c.g)

$\Rightarrow IC = IA$ và $ID = IB$ (hai cạnh tương ứng)

c) Xét $∆OAI$ và $∆OCI$ ta có:

+) $OA = OC$ (giả thiết)

+) $\widehat{A_1} = \widehat{C_1}$ (chứng minh trên)

+) $IA = IC$ (chứng minh trên)

Vậy $∆OAI =  ∆OCI$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{AOI} = \widehat{COI}$ ( 2 góc tương ứng)

$\Rightarrow$ $OI$ là phân giác của $\widehat{xOy}$.