Bài 34 trang 207 SGK giải tích 12 nâng caoTìm các số nguyên dương n để Đề bài Cho số phức \({\rm{w}} = - {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương n để \({{\rm{w}}^n}\) là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \({{\rm{w}}^m}\) là số ảo? Phương pháp giải - Xem chi tiết - Biến đổi w về dạng lượng giác. - Sử dụng công thức Moa-vrơ tính \(w^n\) \(\begin{array}{l} Lời giải chi tiết Ta có: \(\rm{w} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i \) \(= \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}\) Suy ra \({\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}\) \({\omega ^n}\) là số thực \( \Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\) \( \Leftrightarrow 4n = 3k \) \( \Leftrightarrow k = \frac{{4n}}{3} = n + \frac{n}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow n \vdots 3\) Vậy n chia hết cho 3 (n nguyên dương) \({\rm{w} ^m}\) (m nguyên dương) là số ảo \( \Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0\) \( \Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\) \( \Leftrightarrow 8m = 6k + 3\) (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ). Vậy không có số nguyên dương m để \({\rm{w} ^m}\) là số ảo. HocTot.Nam.Name.Vn  Chia sẻ Bình luận
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
|
