Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học

Bài 32 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Sử dụng công thức Moa-vro để tính

Đề bài

Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính \(\sin 4\varphi \) và \(\cos 4\varphi \) theo các lũy thừa của \(\sin \varphi \) và \(\cos \varphi \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Công thức Moa-vrơ:

\(\begin{array}{l}
z = r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\\
\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)
\end{array}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\cos 4\varphi + i\sin 4\varphi = {\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^4}\)

\(\eqalign{ & = {\cos ^4}\varphi + 4\left( {{{\cos }^3}\varphi } \right)\left( {i\sin \varphi } \right) \cr &+ 6\left( {{{\cos }^2}\varphi } \right)\left( {{i^2}} \right){\sin ^2}\varphi \cr &+ 4\left( {\cos \varphi } \right)\left( {{i^3}{{\sin }^3}\varphi } \right) \cr &+ {i^4}{\sin ^4}\varphi \cr & = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \cr &+ \left( {4{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {{\sin }^3}\varphi } \right)i. \cr} \)

Từ đó: \(\cos 4\varphi = {\cos ^4}\varphi - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi + {\sin ^4}\varphi \)

\(\sin 4\varphi = 4{\cos ^3}\varphi \sin \varphi - 4\cos \varphi {\sin ^3}\varphi \)

HocTot.Nam.Name.Vn