Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng caoCho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Đề bài Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng: \(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2}\)\( = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\). Phương pháp giải - Xem chi tiết - Áp dụng công thức trung tuyến trong các tam giác: + BMD để tính MN. + BAC để tính BM. + DAC để tính DM. - Từ đó biến đổi suy ra đpcm. Lời giải chi tiết
Áp dụng công thức tính trung tuyến, \(MN\) là trung tuyến của tam giác \(BMD\), ta có \(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\) \(\Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) - B{D^2}\) Mà \(BM, DM\) lần lượt là trung tuyến của tam giác \(ABC, ADC\) nên Cách khác: * Áp dụng công thức trung tuyến của tam giác ta có: \(\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} = m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{2}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) * Áp dụng công thức (*) Trong tam giác ABD ta có : AB2 + AD2 = 2AN2 + BD2/2 (1) Trong tam giác CBD ta có : CD2 + CB2 = 2CN2 + BD2/2 (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2(AN2 + CN2) + BD2(3) Xét tam giác CAN ta có : AN2 + CN2 = 2MN2 + AC2/2 (4) (vì M là trung điểm AC) Thay (4) vào (3) ta được : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2[2MN2 + AC2/2] + BD2 = AC2 + BD2 + 4MN2 HocTot.Nam.Name.Vn
|