Bài 3 trang 43 SGK Hình học 10 nâng caoChứng minh các hệ thức sau
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Chứng minh các hệ thức sau LG a \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) Phương pháp giải: Sử dụng đường tròn lượng giác và định lí Pitago trong tam giác vuông để chứng minh. Lời giải chi tiết: Vẽ nửa đường tròn lượng giác (O; 1). Với mọi α (0º ≤ α ≤ 180º) ta đều có điểm M(x0; y0) thuộc nửa đường tròn sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \) Khi đó ta có: sin α = y0 ; cos α = x0. Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên OM=1. Ta có: \(\begin{array}{l} Cách khác: TH1: \(\alpha = {0^0}\) thì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\sin ^2}0^0 + {\cos ^2}0^0 \) \(=0^2+1^2= 1\) TH2: \(\alpha = {180^0}\) thì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\sin ^2}180^0 + {\cos ^2}180 ^0\) \(=0^2+(-1)^2= 1\) TH3: \(0^0 < \alpha < {90^0}\). Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đặt \(\widehat B = \alpha \) có: \(\sin \alpha = \sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}},\) \(\cos \alpha = \cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \) \(= {\left( {\dfrac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{{BC}}} \right)^2}\) \( = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1\) TH4: \({90^0} < \alpha < {180^0}\). \( \Rightarrow {0^0} < {180^0} - \alpha < {90^0} \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {{{180}^0} - \alpha } \right) + {\cos ^2}\left( {{{180}^0} - \alpha } \right)=1\) (áp dụng TH3) \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left( { - \cos \alpha } \right)^2} =1\) (vì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha ,\) \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = - \cos \alpha \)) \(\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) Vậy ta có đpcm. LG b \(1 + {\tan ^2}\alpha = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,(\alpha \ne {90^0})\) Lời giải chi tiết: \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {{{{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} \) \(= {{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\) LG c \(1 + {\cot ^2}\alpha = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,({0^0} < \alpha < {180^0})\) Lời giải chi tiết: \(1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} \) \(= {{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\) HocTot.Nam.Name.Vn
|