Bài 3 trang 122 SGK Hình học 12 Nâng cao

Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tám mặt đều. Hãy so sánh thể tích của tứ diện đều đã cho và thể tích của hình tám mặt đều đó.

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi H là hình gồm các điểm của hình tròn (O; R) nhưng không nằm trong hình vuông. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình H khi quay quanh đường thẳng chứa một đường chéo của hình vuông.

Cho hình lục giác đều ABCDEF cạnh a. a) Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng AD. b) Tính thế tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và DE.

Cho hình trụ có bán kính R và đường cao . Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD. a) Chứng minh ABCD là tứ diện đều. b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách giữa mỗi đường thẳng đó và trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ).

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4). a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó. d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S). e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳ