Bài 29 trang 206 SGK Giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {1 + i} \right)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính 

\(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\)

Lời giải chi tiết

Theo nhị thức Niu-tơn ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {1 + i} \right)^{19}}\\
= C_{19}^0 + C_{19}^1i  + ... + C_{19}^{18}{i^{18}} + C_{19}^{19}{i^{19}}\\
= \left( {C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^4} + ... + C_{19}^{18}{i^{18}}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + C_{19}^5{i^5} + ... + C_{19}^{19}{i^{19}}} \right)\\
= \left( {C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... - C_{19}^{18}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1i - C_{19}^3i + C_{19}^5i - ... - C_{19}^{19}i} \right)\\
= \left( {C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... - C_{19}^{18}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1 - C_{19}^3 + C_{19}^5 - ... - C_{19}^{19}} \right)i
\end{array}\)

Phần thực ở vế phải là: \(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\)

Mặt khác:

\(\eqalign{
& {\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)} \right]^{19}} \cr &= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos {{19\pi } \over 4} + i\sin {{19\pi } \over 4}} \right) \cr 
&  = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)\cr &= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( { - {{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) \cr &= - {2^9} + {2^9}i \cr 
& \Rightarrow C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18} \cr &=- {2^9} = - 512. \cr} \)

 HocTot.Nam.Name.Vn